Kreuzprodukt

22.06.2006, 17:55

timmy

Kreuzprodukt

Hi,
hab ein Problem mit dem Kreuzprodukt, und zwar betrifft das eine der Definitionen und die Herleitung.

Ich hänge zum besseren Verständnis eine Seite aus meinem Schulmathebuch an, auf der die Definitionen samt Herleitung drinstehen.

Es gibt ja die Definition, dass das geordnete Vektortripel $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \vert \vec{b} \vert \vec{a} \times \vec{b} ) \end{eqnarray*}$ ein Rechtsystem bilden soll, also $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Das Problem ist, dass ich nicht sehe, wie diese Definition auf irgendeine mathematische Weise in die Herleitung einfliesst bzw. ob sie das überhautp tut.
Woher will man dann aber wissen, ob $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ wirklich immer ein Rechtssystem bildet?
Oder wird einfach der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ immer so gelegt, dass ein Rechtssystem gebildet wird?

Bitte klärt mich auf. traurig

Bin für jede Hilfe dankbar. Gott

22.06.2006, 18:06

timmy

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Ich sehe gerade, dass die Datei sehr klein geraten ist.
Ich habe sie deshalb auf einen externen Upload-Server geladen.

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22.06.2006, 19:50

tigerbine

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Also, unter Defintionen stehen die Eigenschaften, die der Vektor a x b habn soll. Er soll senkrecht auf der von a,b aufgespannten Ebene stehen (d.h. 1 axb steht senkreht auf a und b)

Wie ist ein Rechtssystem definiert? verwirrt

Seine Länge (Betrag von axb) soll gleich dem Flächeninhalt des von a,b aufgespannten Parallelogramms sein.

Im zweiten Absatz wird mit I- III die Definition in Formeln umgesetzt und damit eine Berechnung von axb hergeleitet. Damit sind dann die Definitionen erfüllt.

Gruß Wink

22.06.2006, 20:35

timmy

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Ein Rechtsystem ist so definiert, dass das Spatprodukt $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} > 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und genau diese Definition sehe ich nicht in der Herleitung in keinster Weise mathematisch miteinbezogen.
Überseh ich da was? Ist sie wirklich nicht miteinbezogen? Wieso nicht? Woher weiss man dann, ob das geordnete Vektortripel $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \vert \vec{b} \vert \vec{a} \times \vec{b}) \end{eqnarray*}$ wirklich ein Rechtsystem bildet? Oder wird einfach der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ immer so gelegt, dass ein Rechtssystem gebildet wird?

Das sind so die Fragen, die mich ärgern. Und leider seh ich in deinem Beitrag keine Antwort darauf. In der Schule wird das einfach zu ungenau bis gar nicht durchgemacht und im Internet steht auch nix Hilreiches. Und um den Lehrer zu fragen, sind die Fragen zu lang.
Deshalb erhoffe ich mir von euch die Hilfe und Information.

22.06.2006, 21:13

tigerbine

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ok, nehmen wir deine Definition. Sorry wenn ich nicht in Vektoren umtippe.

Wir haben also a,b und (axb). Den nennen wir mal c, also c:=axb. Jetzt betrachten wir das Spatprodukt:

(a x b) * c = (a x b) * (a x b) = c * c = $\begin{eqnarray*} ||c||_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist das Quadrat der euklidischen Norm ("Betrag") von c. Wir wissen, dass |c| gleich der Fläche des Parallelogramms zischen a und b sein soll.

Wenn a, b kollinear (linar abhängig sind), dann schliessen sie aber keine Fläche ein, also |c| = 0. Deswegen wird dieser Fall ausgeschlossen.

Ansonsten ist der Betrag > 0 und damit auch das Quadrat. Somit bilden sie ein Rechtssystems

Wink

22.06.2006, 22:19

timmy

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Kurz gefasst heisst das doch, dass man c immer so wählt, dass ein Rechtssystem gebildet wird. Das vermute ich daran zu erkennen:

Zitat:

Den nennen wir mal c, also c:=axb

Gut, wenn das geklärt ist, dann hab ich noch eine weitere Frage.

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ein Rechtsystem bildet, dann muss $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein Linkssystem bilden, also ist das Spatprodukt $\begin{eqnarray*} ( \vec{b} \times \vec{a} ) \cdot \vec{c} < 0 \end{eqnarray*}$ , wobei dieselben Definitionen bezüglich Orthogonalität und Betrag gelten.
Das ist meines Wissens nach so definiert.

Und ein negatives Spatprodukt wird erreicht, indem man das Negative des Kreuzproduktes $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ hernimmt und mit $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ multpliziert.
In Formeln:
$\begin{eqnarray*} ( \vec{b} \times \vec{a} ) \cdot \vec{c} = ( - ( \vec{a} \times \vec{b} ) ) \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

22.06.2006, 23:20

tigerbine

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Nein, dass sollte Dir nur die Formel verdeutlichen. Die Bezeichnungen sind unglücklich, da sowohl in der Definfition des Spatprodukts als auch beim Vektorproduk a,b verwendet werden.

Willst du dann das Spatprodukt von a,b, axb berechnen, setzt Du in der allgemeinen formel mit den Variablen a,b,c eben c = axb!

Also, das Vektorprodukt berechnet sich "konkret" so

$\begin{eqnarray*} axb = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \begin{pmatrix} b_2a_3 - b_3a_2 \\ b_3a_1 - b_1a_3 \\ a_1a_2 - b_2a_1 \end{pmatrix} = -bxa \end{eqnarray*}$

Also, ja Augenzwinkern

23.06.2006, 16:41

timmy

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Zitat:

Nein, dass sollte Dir nur die Formel verdeutlichen. Die Bezeichnungen sind unglücklich, da sowohl in der Definfition des Spatprodukts als auch beim Vektorproduk a,b verwendet werden.

Ich verstehe nicht, was du damit meinst. Und wieso definierst du c:=axb? c ist doch beliebieg wählbar, oder etwa nicht?

23.06.2006, 17:20

timmy

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Aso, jetzt verstehe ich! Hammer

Wenn das Vektortripel $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \vert \vec{b} \vert \vec{c} ) \end{eqnarray*}$ ein Rechtssystem bilden, dann heisst das $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} > 0 \end{eqnarray*}$

Und im Falle des Tripels $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \vert \vec{b} \vert \vec{a \times b} ) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{a \times b} > 0 \end{eqnarray*}$

Gut, vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. smile

P.S.: Falls ich bezüglich des Kreuzproduktes nochmals irgendwo hängenbleibe, so poste ich hier nochmal rein.

23.06.2006, 17:48

timmy

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Mir stellt sich noch eine Frage zur Herleitung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = - ( \vec{b} \times \vec{a} ) \end{eqnarray*}$ , weil mir die Idee mit dem Minus hervorheben nicht gefällt, denn man weiss ja nicht, ob wirklich
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} b_2a_3 - b_3a_2 \\ b_3a_1 - b_1a_3 \\ a_1a_2 - b_2a_1 \end{pmatrix} = bxa \end{eqnarray*}$ gilt, wie du es ja vorrausgesetzt hast. Diese Vorraussetzung ist zwar nach menschlichen Massstäben logisch, aber eben nicht bewiesen.

Meine Idee ist folgende:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist ja genau so lang wie $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ , nur aufgrund der Definition mit dem Linkssystem dem Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ entgegengerichtet. Und daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} = - ( \vec{a} \times \vec{b} ) \end{eqnarray*}$

Kann man das so gelten lassen?

23.06.2006, 21:56

tigerbine

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Hallo Timmy!

Also, du musst dir zunächst einmal klarmachen, was Du beweisen willst.

Also, zur Definition des Vektorprodukts axb. Das soll ein Vektor sein, an den man 3 Bedingungen stellt:

(1) axb steht senkrecht auf a und b
(2) a,b, axb bilden ein Rechtssystem, d.h. $\begin{eqnarray*} (axb) \cdot (axb) >0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} |axb| =|a|\cdot|b|\cdot sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Das ist zunächst mal ganz nett. Aber jetzt muss man zeigen, dass es einen solchen Vektor wirklich gibt. Sonst ist die Definition untauglich. Dazu kann man so vorgehen, dass man definiert:

(axb) = (...) wie ich es Dir unten aufgeschrieben habe und dann zeign, dass (1) - (3) erfüllt sind.

Deine Behauptung unten war:

a,b, bxa bilden ein Linkssystem. Das Linkssystem ist definiert als (axb)(bxa) < 0.

Dies wollen wir nun beweisen. Dazu kann man, wie ich es umgeformt habe, zeigen dass gilt axb = -bxa. Das beruht auf der Defnition von axb und den Rechengesetzen der reellen Zahlen. Das ist ein BEWEIS!.

Nun Rechen wir (axb)(bxa) = -(axb)(axb) < 0, da wir wissen dass (axb)(axb) > 0, da a,b,axb ein Rechtssystem bilden.

Bemerkt sei hierbei nur, dass wir immer für den Fall argumentieren, dass a,b nicht kollinear (linear abhängig) sind.

Bei deinem Beweis benutzt du schon die Behauptung, dass a,b, bxa ein Linkssystem bilden. Dass musst du erst einmal beweisen! Da bist du in deiner Argumentation zu kurz!

Übrigens heißt die Regel bxa = -(axb) Alternativgesetz! Und die Folgt wie gesatg aus der Berechnungsvorschrift für axb. Und diese folgt aus der Definition von axb.

Jetzt habe ich auch eine Frage. In welcher Klasse bist Du und in welchem Bundesland?

Gruß Wink

23.06.2006, 22:58

Timmy

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Hi tigerbine.

Ich bin in der 10. und komme aus Österreich, Tirol.

Danke, dass du mir meine Fehler aufgezeigt hast. smile

Und ich habe nun auch hoffentlich verstanden, wieso für $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} \end{eqnarray*}$ diesselbe Matrix zur Berechnung benutzt wird, mit vertauschten Koordinaten selbstverständlich.

Ich habe es nun so verstanden: die Definitionen 1) - 2) , also die Definitionen die sich auf Orthogonalität und Betrag beziehen, dienen zur Herleitung der Berechnung des Kreuzproduktes, ganz egal ob $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} \end{eqnarray*}$ , deshalb werden auch die Koordinaten vertauscht.
Mit 3) definiert man dann einfach, dass durch $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ ein Rechtssystem gebildet wird.
Und durch 1) - 3) wird dann gezeigt, dass durch $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein Linkssystem gebildet wird.

Grüsse, Timmy

23.06.2006, 23:28

tigerbine

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Jaja, die lieben Schulbücher... Da wird am Ende einfach drauf losgerechnet und keiner interessiert sich mehr warum man das eigentlich so darf. Augenzwinkern

Ich finde es echt toll, dass Du dir da Gedanken machst. Freude

Weiter so, und wenn mal wieder was unklar ist, kommst Du vorbei!

Gruß von der bayerischen Tigerbine smile

22.10.2006, 17:38

Timmy

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Hallo, ich bins nochmal.
Ich habe vor kurzem auf diesem wiki-Artikel von der Rechten-Hand-Regel gelesen. Und mir ist nicht klar, wieso sie immer gilt. Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ auf dem Daumen und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auf dem Zeigefinger liegt, wieso zeigt dann $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ immer in Richtung Mittelfinger und nicht irgendwann mal entgegengesetzt zu ihm?
Kann man das mathematisch begründen?

lg, Timmy.

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