Ist Vektorfeld ein Gradientenfeld? und wie Potential bestimmen?

22.06.2006, 18:20	Franzi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Vektorfeld ein Gradientenfeld? und wie Potential bestimmen? Hallo, die folgende aufgabe habe ich schon ein klein bisschen selbst geschafft. aber einen teil dazu weiß ich nicht genau wie ich das machen soll: Prüfen sie, ob das vektorfeld $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x,y) := \begin{pmatrix} 3x^2y \\ x^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Gradientenfeld ist, und bestimmen SIe gegebenenfalls ein Potential. Also, ich habe zuerst mal die Stammfunktion gebildet. Denn es ist doch richttig, wenn man eine stammfunkton bilden kann, dann hat man ein gradientenfeld oder? Und ich habe das folgendermaßen gemacht: $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (t) = \begin{pmatrix} tx \\ ty \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus folgt die stammfunktion: $\begin{eqnarray} \phi (x,y) = \int_{1}^{0}~ \begin{pmatrix} 3x^2y t \\ x^3 t\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ~dt = \frac{4}{2} x^3 y \end{eqnarray}$ das müsste eigentlich stimmen. weil wenn ich die stammfunktion wieder ableite, komme ich zum ausgangspunkt zurück. falls das also nun richtig ist, wie kann ich da denn das potential berechnen? könntet ihr mir da bitte ein bisschen weiterhelfen? vielen dank
22.06.2006, 19:30	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
hi also ich hoffe, ich kann weiterhelfen, kenn mich da auch noch nicht so aus. Wenn ich überprüfe, ob ein Vektorfeld ein Potential besitzt, muss ich u.a. wissen, ob $\begin{eqnarray} \text{rot}\vec{v}=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \text{rot}\vec{v} = \frac{\delta v_1}{\delta x}-\frac{\delta v_2}{\delta y} \end{eqnarray}$ Determinante der Funktionalmatrix... $\begin{eqnarray} \frac{\delta (x^3)}{\delta x}-\frac{\delta(3x^2y)}{\delta y}\\3x^2-3x^2=0 \end{eqnarray}$ Also besitzt v ein Potential, da auch das Gebiet R² offen und einfach zusammenhängend sein sollte. Bestimme jetzt Stammfunktion. Wähle x0=(0,0,0) $\begin{eqnarray} f(x,y)&=&\int_{0}^{x}v_1(t,0)dt+\int_{0}^{y}v_2(x,t)dt\\&=&\int_{0}^{x}3t^2\cdot 0dt + \int_{0}^{y}x^3dt\\&=&[tx^3]^{y}=yx^3 \end{eqnarray}$ Das Potential hat dann lediglich ein negatives Vorzeichen zur Stammfunktion. Das hat wohl physikalische Gründe... Hoffe, das stimmt oben soweit, wenn nicht, dann korrigiert mich lg
22.06.2006, 21:39	nschlange	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, im R^2 gibt es eigentlich keine Rotation für ein Vektorfeld. Die Integrabilitätsbedingung muss einfach lauten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial v_i}{\partial x_j}=\frac{\partial v_j}{\partial x_i}, i,j=1..n \end{eqnarray}$ später mehr

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