explizite folge

18.09.2008, 15:42

weeezey

explizite folge

ich komm einfach nicht auf das allgemeine glied bei folgenden 2 folgen

1,3,7,15,31,63

und die 2te

16,-8,4,-2,1

ich hab für die 2te -(16/n) * (-1)^n

aber da stimmen nur die ersten beiden werte

wäre nett wenn ihr helfen könntet Wink

18.09.2008, 15:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: explizite folge
Bilde bei der ersten Folge mal die Differenz aufeianderfolgender Glieder.

Bei der zweiten Folge wird offensichtlich immer mit -0,5 multipliziert.

18.09.2008, 15:46

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Folge kann man auch als Folge von 2-er-Potenzen darstellen.

18.09.2008, 15:53

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

also die differenz : 2,4,8,16,32
also wird die 'steigung' immer verdoppelt

bei der 2ten wird ja immer das aktuelle glied mit 0.5 multipliziert das wäre dann ja rekursiv

18.09.2008, 15:56

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weeezey

also die differenz : 2,4,8,16,32
also wird die 'steigung' immer verdoppelt

Und wie kann man die Folge der Differenzen darstellen? Augenzwinkern

Zitat:

Original von weeezey

bei der 2ten wird ja immer das aktuelle glied mit 0.5 multipliziert das wäre dann ja rekursiv

Ja, aber die Folge kann man auch ohne Weiteres „explizit“ angeben.

18.09.2008, 16:01

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

explizite folge
also zur ersten
die folge der differenzen wäre dann 2*n
wenn ich als allgemeines glied dann 2*n-1 wähl stimmen aber auch nur die ersten beiden werte

18.09.2008, 16:33

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: explizite folge

Zitat:

Original von weeezey
also zur ersten
die folge der differenzen wäre dann 2*n

Genau. Schreibe mal die ersten Glieder der Folge auf, und zwar genau mit den Zweierpotenzen (dabei nichts zusammenfassen oder ausrechnen).

Zitat:

Original von weeezey

wenn ich als allgemeines glied dann 2*n-1 wähl stimmen aber auch nur die ersten beiden werte

Sagt Dir der Begriff der geometrischen Folge etwas?

18.09.2008, 16:35

Auf diesen Beitrag antworten »

Statt der Differenzen kann man sich bei der ersten Folge auch gleich die um Summand 1 vergrößerte Folge 2,4,8,16,32,64 anschauen...

Generell geht es bei solchen Aufgaben - man kann es nur immer und immer wieder betonen - darum, eine möglichst einfache Bildungsvorschrift zu ermitteln, die mit diesen Anfangswerten übereinstimmt. Die Bildungsvorschrift klingt immer so, als gäbe es nur eine - weit gefehlt.

18.09.2008, 16:42

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

als rekursive wäre die erste folge dann
an+1=an*2+1 a1=1 oder ? ich hab kp wie ich auf die explizite kommen kann

18.09.2008, 17:05

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe die Formeln bitte mit dem Editor oder setze Klammern, sonst kann man wirklich nichts erkennen. unglücklich

Ich dachte an:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 + 2^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = 1 + 2^1 + 2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{i = 0}^n 2^i = \frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} = 2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

Aber der Vorschlag von Arthur Dent ist sicher besser. Big Laugh

18.09.2008, 17:36

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

also die erste folge ist
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ wenn man dem ersten wert n=0 zuordnet
zählt die 0 überhaupt noch zur definitionsmenge einer folge?

18.09.2008, 17:38

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Einen ist

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N_0} = 2\cdot 2^n - 1 = 2^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$

Zum Zweiten, wenn du es für den Start auf n=1 verlegen willst, kannst du auch einfach n zu (n-1) machen:

$\begin{eqnarray*} (a'_n)_{n\in\mathbb N} = (a_{n-1}) = 2^{n-1+1} - 1 = 2^n - 1 \end{eqnarray*}$

Prinzipiell darf die Folge auch bei n=0 beginnen, es ist eben Definitionssache, ob die Null natürlich ist oder nicht.

( $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ soll hier die Null nicht enthalten, dafür aber $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ )

air

18.09.2008, 19:04

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

so hab eine frage zur bildung einer rekursiven darstellung aus einer expliziten
laut unserem lehrer ^^
u(n) = 1 / n -> n = 1/u(n)
u(n+1)= 1 / (n+1) -> jetzt n einsetzen und umformen -> (1/n) / ( (1/n) +1 )
das soll jetzt die rekursive darstellung sein laut usnerem lehrer aber kann man da überhaupt von einer rekursivend arstellugn reden weil man ja gar keinen ausgangswert braucht ?
und wie wäre die richtige methode um eine zu ermitteln wenn es sie gibt ^^

18.09.2008, 19:15

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Startwert für die rekursive Definition ist natürlich das erste Glied der Folge u, also 1.

Ansonsten ist die Vorgehensweise, die Dein Lehrer gezeigt hat, doch einwandfrei: Man drückt das Glied u(n+1) nicht direkt über n aus, sondern das Vorgängerglied u(n). Wo ist der Mangel?

// edit: Beim Einsetzen in den Term von u(n+1) ist doch noch ein prinzipieller Fehler:

Man setzt doch

$\begin{eqnarray*} n = \frac{1}{u_n} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} u_{n+1} = \frac{1}{\frac{1}{u_n} + 1} \end{eqnarray*}$

Sonst ist es ja gar keine rekursive Darstellung.

18.09.2008, 19:45

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

jo danke an alle für die hilfe smile

könnt mir vllt noch mal jmd ein tipp zur 2ten folge geben hab die immernoch nicht xD

18.09.2008, 19:49

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich doch schon geschrieben:

Die Folgenglieder sind 2er-Potenzen.

Und wie Du die korrekten Vorzeichen erzeugen kannst, hast Du ja schon geschrieben:

$\begin{eqnarray*} -(-1)^n \end{eqnarray*}$

oder auch einfach

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

18.09.2008, 21:20

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jacques
Hatte ich doch schon geschrieben:

Die Folgenglieder sind 2er-Potenzen.

Und wie Du die korrekten Vorzeichen erzeugen kannst, hast Du ja schon geschrieben:

$\begin{eqnarray*} -(-1)^n \end{eqnarray*}$

oder auch einfach

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

ich meinte eig die folge 16,-8,4,-2,1

und noch ne frage ^^
$\begin{eqnarray*} a(n) = - n\cdot (- 1)^{n} \end{eqnarray*}$ wie kann ich das nach n umformen ?

18.09.2008, 21:43

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weeezey

ich meinte eig die folge 16,-8,4,-2,1

Genau die meinte ich auch. Augenzwinkern

Das sind doch einfach 2er-Potenzen, nur dass sie von links nach rechts fallen.

Zitat:

Original von weeezey

und noch ne frage ^^
$\begin{eqnarray*} a(n) = - n\cdot (- 1)^{n} \end{eqnarray*}$ wie kann ich das nach n umformen ?

Hm, das ist wahrscheinlich nicht so einfach. Gibt es keine simplere Vorschrift für die Folge?

18.09.2008, 22:17

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jacques

Zitat:

Original von weeezey

ich meinte eig die folge 16,-8,4,-2,1

Genau die meinte ich auch. Augenzwinkern

Das sind doch einfach 2er-Potenzen, nur dass sie von links nach rechts fallen.

Zitat:

Original von weeezey

und noch ne frage ^^
$\begin{eqnarray*} a(n) = - n\cdot (- 1)^{n} \end{eqnarray*}$ wie kann ich das nach n umformen ?

Hm, das ist wahrscheinlich nicht so einfach. Gibt es keine simplere Vorschrift für die Folge?

hmm mir fällt keine andere ein ich hab die von http://www.mathematik.net/folgen/fr4s4.htm

zur anderen folge aber wie kann ich das darstellen mit den 2er potenzen über das summenzeichen geht dass doch bestimmt nru schlecht oder weil imemr negativ und positive zahlen kommen

18.09.2008, 22:22

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weeezey

hmm mir fällt keine andere ein ich hab die von http://www.mathematik.net/folgen/fr4s4.htm

Tut mir leid, da wüsste ich jetzt auf Anhieb keine Umformung. Im Prinzip muss man Logarithmieren, aber dabei gibt es das Problem, dass Logarithmen nur für positive Argumente definiert sind.

Zitat:

Original von weeezey

zur anderen folge aber wie kann ich das darstellen mit den 2er potenzen über das summenzeichen geht dass doch bestimmt nru schlecht oder weil imemr negativ und positive zahlen kommen

Warum mit Summenzeichen? Einfach so:

$\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{5-n} \end{eqnarray*}$

(unter der Voraussetzung, dass der erste Index 1 lautet)

18.09.2008, 22:44

weeezey

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die hilfe Freude

mal sehen was dem lehrer morgen noch dazu einfällt Big Laugh

18.09.2008, 22:48

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine einfachere Alternative für die zweite Folge noch:

$\begin{eqnarray*} a_n = 16 \cdot \left(- \frac{1}{2} \right)^{n - 1} \end{eqnarray*}$

(siehe klarsoweits Hinweis: Das ist eine geometrische Folge)

19.09.2008, 09:17

TheWitch

Auf diesen Beitrag antworten »

(Kleiner Einschub hinsichtlich der Null: Die Frage, ob 0 eine Natürliche Zahl ist, richtet sich nach den Lehrplänen bzw. (wenn dort nichts geregelt ist) dem verwendeten Lehrbuch. Die allermeisten folgen der DIN-Norm 5473, die die Null dazuzählt.)

19.09.2008, 09:23

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jacques
Eine einfachere Alternative für die zweite Folge noch:

$\begin{eqnarray*} a_n = 16 \cdot \left(- \frac{1}{2} \right)^{n - 1} \end{eqnarray*}$

Oder auch einfach $\begin{eqnarray*} (-2)^{5-n}. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

explizite folge

Verwandte Themen