Anzahl Koeffizienten

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Grünschnabel Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Koeffizienten
Hallo zusammen.

Ich würde gerne wissen, wie viele Punkte zur Berechnung der Koeffizienten nötig sind, wenn in das bivariate Polynom f=f(x,y) ein Polynom y=y(x) eingesetzt wird.

Das Polynom f hat folgende Darstellung:

mit der Einschränkung


Beispiel mit Polynomgrad 3:


Nun soll ein Polynom y=y(x) eingesetzt werden, höchstens vom Polynomgrad p wie f(x,y).
Beispiele:



Setzt man in f(x,y) ein, ergibt sich folgendes Polynom:

Sorry, das lässt sich nicht richtig schreiben.
Dies sind also 7 unbekannte Koeffizienten und ich brauche 7 Punkte um diese zu bestimmen.

in f(x,y) eingesetzt liefert:

Hier werden also neun Punkte zur Bestimmung der Koeffizienten benötigt.

Allgemein lässt sich sagen:
Polynomgrad f(x,y) = p

- und Polynomgrad y = 1, dann p+1 Punkte
- und Polynomgrad y = 2, dann 2p+1 Punkte
- und Polynomgrad y = 3, dann 3p Punkte
zur Bestimmung der Koeffizienten nötig.

Nun hätte ich gern gewusst, ob es da eine Art Formel gibt, die mir sagt, wie viele Punkte benötigt werden, wenn ich eine Kurve (mit a >0, ganze Zahl) in f(x,y) mit Polynomgrad p einsetze. Zur Erinnerung nochmal, weil das sehr wichtig ist:
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage
Zitat:

Das Polynom f hat folgende Darstellung:

mit der Einschränkung


Beispiel mit Polynomgrad 3:


Das Beispiel versteh ich nicht. Oben hast du einen Index ij, dann steht da im Beispiel nur eine Zahl. Schreiben wir für p=3 deine DoppelSumme einmal aus:



Es gibt also je Summe (p+1) Koeffizienten und es gibt (p+1) Summen. Insgesamt hier also 16. Wieviele müssen gleich 0 gesetzt werden, damit die Bedingung erfüllt ist?
Grünschnabel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage
Ok, die Notation im Beispiel ist nur der Übersichtlichkeit wegen.
Es müsste so heißen:

wobei dann immer noch nicht die "schöne" Reihenfolge raus kommt.
Die Einschränkung ist nur deswegen da, damit der Totalgrad sämtlicher Monome nicht größer als p wird.
Grünschnabel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage
Und noch zur Anzahl der Koeffizienten des Ausgangspolynoms .
Es sind
Koeffizienten,

deren Anzahl sich durch das Einsetzen von in reduziert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dein hat die Gestalt

,

ich hab gleich mal die Bedingung eingearbeitet. Hier sind insgesamt Koeffizienten vorhanden.


Wenn du jetzt nur Potenzen einsetzt, dann ergibt sich gemäß Potenzgesetzen

.

Es läuft auf die Frage hinaus, wieviel Werte die Menge der Exponenten



umfasst. Das ist nicht so schwer, da braucht man nur Geduld, Übersicht und Beharrlichkeit:

, gültig für
Grünschnabel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Das Ergebnis sieht ziemlich gut aus.

Die Bedingung


ist klar.

Von Mengen versteh ich nicht wirklich was. Sicher trivial, aber wie kommt man von der Bedingung oben auf den formelmäßigen Zusammenhang

 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich sagte: Geduldig zählen. Im vorliegenden Fall schaut man sich an, wieviele der Zahlen




...


in der genannten Menge liegen - Zeile für Zeile. Am Anfang (oberste Zeile) sind das alle Zahlen dieser Zeile, die nächsten Zeilen ist das auch noch so. Ab einer bestimmten Zeile nimmt die Anzahl aber ab .. das gilt es eben genau festzustellen, ab wann das passiert. Am Ende spielt dann bei der Vereinfachung der Anzahlsumme noch bekanntes wie



eine Rolle.
Grünschnabel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auf den Zusammenhang leider nur durch Ausprobieren von verschiedenen Beispielen mit und gekommen.
Es gibt Zeilen, welche alle Elemente enthalten. Danach verringert sich die Anzahl pro Zeile immer um 1 Element, bis schließlich nur noch das Element übrig bleibt.

Die Anzahl an Elementen ist dann

und führt auf den bekannten Zusammenhang.
Jedoch versteh ich im allgemeinen Fall nicht, wie das Kriterium lautet, dass es volle Zeilen gibt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal in aller Ausführlichkeit: Für festes liegen aus dem Bereich



genau die Zahlen

mit

in der genannten Menge - so ist die Menge ja aufgebaut. D.h., die Gesamtanzahl ist

.
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