Mantel einer Kugelschicht

22.06.2006, 20:06	Voessli	Auf diesen Beitrag antworten »
Mantel einer Kugelschicht Hallio ich soll zeigen, daß die Mantelfläche einer Kugelschicht mit der vorgegebenen Höhe h immer die selbe Größe hat, unabhängig auf welcher Höhe der Kugel die Schicht liegt. Weiterhin soll gezeigt werden, daß diese Fläche der Mantelfläche eines Zylinders, entspricht welcher den Radius r der Kugel besitzt und die Höhe h. Ich kenne nur die Oberfläche für eine Kugelzone: $\begin{eqnarray} A=\pi (alpha^2+2rh+beta^2) \end{eqnarray}$
23.06.2006, 07:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich etwas ratlos: Kugelzone und Mantel einer Kugelschicht sind meiner Ansicht nach dasselbe. Das sind also Flächen. Es kann daher keine Oberfläche einer Kugelzone geben, höchstens die Oberfläche einer Kugelschicht, welche bestünde aus der Kugelzone und den beiden die Kugelschicht begrenzenden Kreisen. Und deine Formel ist auch verwirrend. Werden da wirklich Winkel, vielleicht im Bogenmaß, quadriert? Und sind diese Teile dann unabhängig von $\begin{eqnarray} r,h \end{eqnarray}$ ? Das paßt doch dann mit den Dimensionen der Einheiten nicht zusammen. Vielleicht soll es da ja auch $\begin{eqnarray} r^2 \sin^2{\alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r^2 \sin^2{\beta} \end{eqnarray}$ heißen. Dann könnte ich die Formel verstehen. Um den Inhalt einer Kugelzone der Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ einer Kugel vom Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ herzuleiten, subtrahiert man am besten von der gesamten Oberfläche der Kugel die zwei Kappenflächen, die die Zone zur Oberfläche komplementieren. Das setzt allerdings voraus, daß die Formel für die Kappenfläche schon bekannt ist. Wenn also die Kappenflächen die Höhen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ haben, dann gilt $\begin{eqnarray} u+v+h = 2r \end{eqnarray}$ und die beiden Kappenflächen haben die Inhalte $\begin{eqnarray} 2 \pi r u \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 2 \pi r v \end{eqnarray}$ . Jetzt subtrahiere diese Kappenflächen von der Kugeloberfläche und eliminiere $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ aus der Formel.
23.06.2006, 08:21	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mantel einer Kugelschicht frage: wie sollst du das zeigen? ein weg: rotation eines kreises um die x-achse die matelfläche des rotationskörpers (der kugel) berechnet man $\begin{eqnarray} M=2\pi\int_{}^{}~y~ds= 2\pi \int_{x_1}^{x_2}~f(x)\cdot \sqrt{1+(f^\prime(x))^{2}}~dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}} \end{eqnarray}$ alles einsetzen und integrieren ergibt $\begin{eqnarray} M=2\pi r(x_2-x_1)=2\pi rh \end{eqnarray}$ also ist M nur abhängig von der höhe h der schicht. werner

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