Untersuchung einer Folge

18.09.2008, 21:52

Gabriela0815

Untersuchung einer Folge

Hallo,

da bin ich wieder mit meinem Verständnisproblem.

Nun mal ein konkretes Beispiel.

Es geht um die Untersuchung der Beschränkung folgender Folge:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$

Ein Lösungsansatz heißt z.B.
Diese Folge ist nach unten und oben beschränkt. Die Beschränktheit nach unten ist sofort zu sehen.

Doch ich sehe da gar nichts, zumindest noch nicht.

Wie/wo sieht man das?

Klar ist mir, das man erklären soll, wo es eine Beschränkung gibt bzw. nicht gibt.

Aber wie komme ich da drauf?

Liebe Grüße
Gabriela

18.09.2008, 21:54

Q-fLaDeN

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Frage:
Kann die Folge negative Werte annehmen?

18.09.2008, 21:55

system-agent

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Gibt es ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} a_n\leq0 \end{eqnarray*}$ ? Das liefert die Beschränktheit nach unten.
Wieso ist $\begin{eqnarray*} a_n\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Das liefert die Beschränkheit nach oben.

18.09.2008, 22:05

Gabriela0815

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Hallo,

hier hänge ich auch vom Verständnis:

$\begin{eqnarray*} a_n = n \end{eqnarray*}$

Diese Folge soll nach unten beschränkt sein, da

$\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Heißt das, das die untere Schranke die 0 ist?

Aber die kommt doch in der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht vor.

Kann das bitte mir jemand deutlich machen?

Liebe Grüße
Gabriela

18.09.2008, 22:05

Gabriela0815

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@ Q-fLaDen
Keine Ahnung, ist nichts dazu angegeben.

@syste-agent
Danke, aber jetzt verstehe ich noch nichts.
Kann im Moment mit Deinen Aussagen nichts anfangen.
Kannst Du bitte mir das etwas ausführlicher erklären.

Habe da auch schon im Forum gestöbert aber mit den kurzen
Erklärungen komme ich nicht weiter. Da ich, noch nicht, verstehe
was gemeint ist.

Lieben Dank für Eure Hilfe.

Liebe Grüße
Gabriela

18.09.2008, 22:11

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Gabriela0815
@ Q-fLaDen
Keine Ahnung, ist nichts dazu angegeben.

Das war auch eine Frage an dich, die du mir beantworten solltest, nicht die Aufgabenstellung Big Laugh

Ich überlass dir mal system-agent.

18.09.2008, 22:22

Gabriela0815

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@ Q-fLaDen
Achso.
Ich denke nein, da der Wert nicht unter 0 gehen dürfte, wenn man für n = 1 einsetzt, was ja das unterste Glied der Folge sein dürfte.

Liebe Grüße
Gabriela

18.09.2008, 22:32

Q-fLaDeN

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Das unterste Glied gibt es nicht. Wenn dann das kleinste, aber auch das existiert nicht. Wenn du für $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ einsetzt hast du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$ bekommst du aber einen kleinere Wert, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30} \end{eqnarray*}$ . Also für immer größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird der Funktionswert immer kleiner und nähert sich der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ an, was man mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ auch überprüfen kann.

Ich wollte dich mit dem negativen Wert nur auf die richtige Fährte leiten, also das "ablesen" der Beschränktheit nach unten. (Dabei erreicht die Folge natürlich auch die 0 niemals.)

19.09.2008, 12:05

system-agent

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Und die Beschränktheit nach oben kannst du folgendermassen sehen:
Sicher, $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Nun schaue dir mal $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ an [einfach einsetzen]. Schreibe das mal aus [ausmultiplizieren] und begründe damit, wieso $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ sein muss [beachte: $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ].
Wenn du das begründet hast und gesehen hast, dass $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist, so kann die Folge niemals einen Wert grösser als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ haben und damit ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke.

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