Abbildungen

18.09.2008, 22:12

Musti

Abbildungen

Hallo ich soll folgendes beweisen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: X\mapsto Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Dann sind gleichwertig:

a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bijektiv b) $\begin{eqnarray*} \exists g: Y\mapsto X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ g=id_y \end{eqnarray*}$ .

Hab schwierigkeiten beim Beweis:

Zeigen wir zunächst: $\begin{eqnarray*} a) \Rightarrow b) \end{eqnarray*}$ .
Dann müssen wir so beginnen.

Voraussetzung ist: Sei also $\begin{eqnarray*} f: X\mapsto Y \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Wir suchen eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g: Y\mapsto X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\circ g=id_y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_x \end{eqnarray*}$

Das ist so mein Ansatz, ob er richtig ist weiß ich nicht und wie ich weiterkomme auch irgendwie nicht.

Danke

Ich hab nen Geistesblitz bin mir aber nicht sicher ob er richtig ist...

Ich mache Mal an meinem Punkt weiter.

Also: Sei $\begin{eqnarray*} y\in Y \Rightarrow g(y)=x \Rightarrow f(g(y))=y=id_y \end{eqnarray*}$

Kann das sein?

18.09.2008, 22:34

Romaxx

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Hallo,

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bijektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gibt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , mit der gilt: $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ g=id_y \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :" Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Zuerst musst du zeigen, das es solch eine Abbildung gibt, d.h. du musst eine Abbildung finden und auch konstruieren.
Du kannst nicht einfach sagen, "Wir suchen".
Versuche hierzu einmal die Umkehrrelation zu bilden. Das geht immer. Und dazu zeigst du dann, das diese wohldefinierte Abbildung ist.

18.09.2008, 22:41

Musti

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Also Abbildungen haben wir erst heute besprochen.
Was meinst du mit dem Begriff konstruieren?
Und wie bildet man eine Umkehrrelation?

18.09.2008, 23:02

Romaxx

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Abbildungen sind spezielle Relationen.
Eine Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zwischen Mengen.
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geschrieben als Relation ist:

$\begin{eqnarray*} f=\{(x,f(x))\in X\times Y|x\in X\} \end{eqnarray*}$

Die Umkehrrelation sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X|f(x)=y\} \end{eqnarray*}$

Mit konstruieren meine ich, das du dir ein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ baust, das die genannten Eigenschaften erfüllen soll und eben nach Definition eine Abbildung ist.

18.09.2008, 23:15

Musti

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Ich weiß echt nicht wie ich das grade machen soll, wie ich die gewünschten Eigenschaften mit reinbauen soll. Ich glaub ich schau mir morgen nochmal den Unterricht an, weil ich komm jetzt auf nichts.

Danke dir für deine Hilfe

18.09.2008, 23:24

Romaxx

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Mit reinbauen brauchst du eigentlich nichts mehr.
Durch die Angabe der obigen Umkehrrelation, habe ich dir eigentlich schon deine Abbildung konstruiert.
Das einzige was du nun noch tun sollst, ist begründen, warum die Umkehrrelation eine Abbildung ist. Schaue dir dazu vielleicht nocheinmal die Definition einer Abbildung an.

18.09.2008, 23:34

Musti

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Also die Umkehrrelation $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, weil zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} (y,x)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

So richtig?

Und jetzt?

18.09.2008, 23:49

Romaxx

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Ja, ganz korrekt wäre es: ... weil das Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Nun ist doch klar:

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ , dann ist nach Konstruktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$ und damit gilt:

...

Deine Idee im ersten Posting vorletzte Zeile war einigermaßen okay.
Versuche das mal erneut umzusetzen.

18.09.2008, 23:58

Musti

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Ok:

Also: Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ dann ist nach Konstruktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$ und damit gilt: $\begin{eqnarray*} x\in X \Rightarrow f(x)=y \Rightarrow g(f(x))=x=id_x \end{eqnarray*}$

So etwa?

Edit: Jetzt kommt mir das bekannt vor: $\begin{eqnarray*} f:=\{(x,f(x))\in X\times Y|x\in X\} \end{eqnarray*}$
Hast du damit den Graph von f definiert?
Denn wir haben den Graph von f immer so definiert.

$\begin{eqnarray*} \Gamma (f) : =\{(x,f(x))|x\in X\} \end{eqnarray*}$

Und wenn man sagt man soll die Abbildung bauen, dann meinst du damit man soll den Graph in der Form definieren?

19.09.2008, 00:09

Romaxx

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Nicht ganz.

Du wendest erst eine Funktion auf ein Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an und bekommst zum Schluss nur noch eine Abbildung? Das kann nicht gehen.

Wir wollen ja jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f\circ f^{-1}= id_y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f= id_x \end{eqnarray*}$ ist.
Wann sind zwei Abbildungen gleich? (Dabei sind $\begin{eqnarray*} id_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f \end{eqnarray*}$ jeweils Abbildungen)

Sie sind gleich, wenn sie ein beliebiges Element gleich abbilden.

Also:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x=id_x(x) \end{eqnarray*}$

Das andere geht analog.
Damit bist du für die eine Richtung fertig.

Zitat:

Edit: Jetzt kommt mir das bekannt vor: $\begin{eqnarray*} f:=\{(x,f(x))\in X\times Y|x\in X\} \end{eqnarray*}$
Hast du damit den Graph von f definiert?
Denn wir haben den Graph von f immer so definiert.

$\begin{eqnarray*} \Gamma (f) : =\{(x,f(x))|x\in X\} \end{eqnarray*}$

Und wenn man sagt man soll die Abbildung bauen, dann meinst du damit man soll den Graph in der Form definieren?

Nein. Es gibt verschiedene Schreibweisen für eine Funktion.
Warum ich diese Schreibweise gewählt habe, war eben die Sache mit der Relation und ein Weg, dir schrittweise zu zeigen, wie man soetwas angehen kann.
Mit Bauen oder Konstruieren meine ich, das du eben eine Abbildung angibst, wo man erkennt, was die Abbildung macht, sodass man sieht, dass die Art und Weise wie die Funktion funktioniert auch einer Abbildung entspricht (nach Defintion) und das gewünschte erfüllt.

19.09.2008, 00:16

Musti

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Die andere Richtung müsste doch dann so gehen:

$\begin{eqnarray*} (f\circ f^{-1})(y)\Rightarrow f(f^{-1}(y))\Rightarrow f(x)=y=id_y \end{eqnarray*}$

oder?

19.09.2008, 00:23

Romaxx

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Nein.

Schau dir nocheinmal die Zeile in meinem letzten Posting nach "Also:" an und vergleiche. Versuche das zu verstehen.

19.09.2008, 00:27

Musti

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Ich danke dir Roman, aber erstens ist das zu spät und zweitens habe ich das wohl alles nicht begriffen. Ich muss mir das irgendwie selbst aneignen, bringt ja nichts wenn du mir die ganze Zeit hilfst und ich verstehe das nicht.

Wahrscheinlich sollte ich mir die ganzen Definitionen noch einmal angucken.

Ich danke dir dass du mir so spät noch geholfen hast.

19.09.2008, 00:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} (f\circ f^{-1})(y)\Rightarrow f(f^{-1}(y)) \end{eqnarray*}$

Das ist eh Unsinn. Folgepfeile gehören zwischen Aussagen. Das hier sind aber keine Aussagen, sondern Terme. Du meintest wahrscheinlich Gleichheitszeichen.

Du kannst bei der Konstruktion so anfangen:

"Sei $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es wegen der Surjektivität von f ein $\begin{eqnarray*} x\in X, \end{eqnarray*}$ so dass f(x) = y. Wegen der Injektivität von f ist dieses x eindeutig bestimmt. Wir setzen dann g(y) := x."

Damit ist dann die Funktion g definiert. Nun musst du noch die Eigenschaften nachweisen.

19.09.2008, 22:04

Musti

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Danke euch, das Problem hat sich heute geklärt.

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