Funktionenschar

Neue Frage »

Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar
Hi!
Ich untersuche gerade eine Kurvenschar. Größten Teils kein Problem, denke ich.
Nur bei der Ortslinie der Tiefpunkte komme ich nicht weiter. Also zu diesen Ergebnissen
bin ich gekommen:

f(x)= e^(tx)-x
f'(x)=te^(tx)-1

0=te^(tx)-1

I x=-(lnt/t)
II y=lnt/t+1/t

Jetzt muss ich doch Gleichung eins nach t auflösen und in II einfügen um die Ortslinie zu bekommen.
Nur schaff ich es nicht lnt los zu werden. Wie muss ich jetzt vorgehen?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen

Dein x- und dein y-Wert stimmen. Nun löse I oder II nach t auf und setze in II bzw. I ein...

Um diese Gleichung aufzulösen (nach t) brauchst Du allerdings ein Näherungsverfahren oder die Lambert-W-Funktion.


Die Lambert-W-Funktion ist definiert als Umkehrfunktion der Funktion g(x):=x exp(x)
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort!

Die Lambert-W-Funktion werde ich mir mal ansehen. Vielleicht komme ich dann weiter.smile
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten gibt's hier etwas dazu. Aber allgemein ist der Trick immer derselbe: Bringe die Sache in folgende Form:



Dann ergibt das folgende Lösung:



Denke in Deinem Fall an:

und an


dann ist es kein Problem!
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt hab ichs, glaube ich.

x=-(lnt/t)
xt=-lnt
e^(xt)=1/t
te^(xt)=1
xte^(xt)=x
Jetzt kommt der lam:
xt=lam(x)
t = lam(x)/x

Die Ortslinie ist dann:

f(x)=(ln(lam(x))+1)/lam(x)

Jetzt muss ich nur noch die lam-Taste auf meinem Taschenrechner finden.Augenzwinkern

Noch mal vielen Dank für Deine Hilfe. Was meinst Du eigentlich mit u und antiu.
O.K. erst denken dann Fragen u und antiu ist quasi die lambert-w-funktion. Wie ist eigentlich die korrekte schreibweise dafür?
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Korrektur
Die Ortslinie müßte so aus sehen.

f(x)=x(ln(lam(x)/x)+1)/lam(x)
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es so machen, dann ist es etwas «einfacher»:





Wenn man nämlich hier für t die ganze Sache einsetzt, ist nicht mehr sofort ersichtlich, dass der erste Summand -x ist. Wie dem auch sei. Erste Gleichung auflösen:



Einsetzen:



Zeichnung der Ortskurve und der Funktion für 4 Parameter:



EDIT: Aber Deine Berechnungen stimmen, einzig bei der Ortskurve habe ich nicht geprüft ob's dasselbe ist, aber das wird schon passen!
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Cool!
Hinterher sieht immer alles so einfach aus.
Gut gesehn mit dem Summanden, dass wär mir nie aufgefallen.
Vielen Dank nochmal!Freude
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abendschüler
Was meinst Du eigentlich mit u und antiu.
O.K. erst denken dann Fragen u und antiu ist quasi die lambert-w-funktion. Wie ist eigentlich die korrekte schreibweise dafür?


Sorry, diese Frage hatte ich irgendwie überlesen. u(x) soll einfach irgendein Ausdruck mit x sein und antiu wäre das Inverse davon. DIe korrekte schreibweise der Lambert-W Funktion ist W(x).
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir schon gedacht. Bei der Suche im Netz hab ich noch ausdrücke wie lam(x) gefunden.
Das ist wohl Programmspezifisch.Wirklich ausführliche erklärungen dazu gibt es wohl nicht dazu, oder weißt Du zufällig einen guten Link zu Lambert-W.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt diesen Link hier (den hab ich aber schon gepostet oben), dann diesen (ist aber nur ein Poster - es stehen dennoch ein paar Infos drauf). Einen deutschen Wikipedia-artikel gibt's leider nicht, dafür aber den da: Klick mich

EDIT: URL
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke.
Dann werde ich mal mein Dictionary auspacken. Augenzwinkern
Aber auf den ersten Blick sieht das weit ab von dem was wir gerade in
der Zwölf gemacht haben aus.
Gruß Abendschüler
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, oftmals kommen auch Schüler hier ins Forum mit Gleichungen, die mit den in der Schule bekannten Mitteln gar nicht lösbar sind...

Aber letztlich haben wir in diesem Fall nur ausgenutzt, dass wir unser Resultat «geschlossen» schreiben können, weil es eben für diese Funktion einen Namen gibt. Wie dem auch sei: Eigentlich kannst Du jedem «Gleichungslöser» theoretisch einen Namen geben, oder wie löst Du

nach x auf?

Da kannst Du auch zum Beispiel eine Abendschülerfunktion (asf) implizit definieren:



Dann hat obige Gleichung die Lösung



Aber damit ist man der Lösung zahlenmässig nicht nähergekommen... Man hat bloss einen Namen. Um diese Konstruktfunktionen dann auch tauglich zu machen, bedarf es eben des Studiums solcher Funktionen und das ist natürlich etwas ganz anderes (und eben genau das, was in den Links vorwiegend thematisiert wird...)
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.
Es ist das eine Therme umzuformen und das andere sie auch zu verstehen.
Sieht auf jeden Fall spannend aus mit den 3D-Graphen, wenn man das so nennen darf.
Die sehe ich bestimmt in meinem angestrebten Mathe-Studium wieder. Wenn ichs bis dahin schaffe.
Die Idee mit der Abendschülerfunktion muss ich mir merken.Augenzwinkern
cu
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abendschüler
Die sehe ich bestimmt in meinem angestrebten Mathe-Studium wieder.


Dann sitzen wir also beide im selben Boot (ich bin auch angehender Student smile )... Auf jeden Fall wünsch ich Dir bis dahin viel Erfolg Freude !
Abendschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke gleichfalls! Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »