Ein paar Fragen zu linearer Algebra 2

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gessi Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Fragen zu linearer Algebra 2
Sorry, ich kann im Titel nicht genauer werden, weil es ein paar Fragen zu verschiedenen Bereichen sind...

1. Wir haben die Permutationsgruppe . Dann ist die Untergruppe {e, (1 2)} kein Normalteiler von .
Um das nachzurechnen haben wir (1 3){e, (1 2)}(1 3)^(-1) = {e, (3 2)} berechnet. Mir ist schon klar, warum man das macht und dass das dann kein Normalteiler ist. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich das genau berechne (die Mengenklammer beim Normalteiler irritiert mich).

2. Wir haben den Satz: Es gilt für : = , sind die Einheitsvektoren.
Eine ganz blöde Frage: ist doch ein normaler Spaltenvektor, oder? Wie kann ich dann von dem eine Determinante berechnen?

Und noch eine Frage am Rande: Wann heißt es und wann ? (Oder heißt es immer und es liegt an der Sauklaue von meinem Prof, dass bei mir auch manchmal n steht?)

3. Wozu ist die allgemeine Normalenform gut? Irgendwie kann mir das keiner sagen (unser Prof hat aber leider extra betont, dass wir die JNF nicht können müssen, aber die allgemeine schon...).
Um ein Polynom als Matrix darzustellen?


Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand (wenigstens ein paar) Fragen beantworten können, weil wir morgen eine Klausur schreiben.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu linearer Algebra 2
Zitat:
Original von gessi
1. Wir haben die Permutationsgruppe . Dann ist die Untergruppe {e, (1 2)} kein Normalteiler von .
Um das nachzurechnen haben wir (1 3){e, (1 2)}(1 3)^(-1) = {e, (3 2)} berechnet. Mir ist schon klar, warum man das macht und dass das dann kein Normalteiler ist. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich das genau berechne (die Mengenklammer beim Normalteiler irritiert mich).


Du bildest das Produkt für jedes einzelne Element der Menge, das Ergebnis ist wieder eine Menge, zB:




Zitat:
2. Wir haben den Satz: Es gilt für : = , sind die Einheitsvektoren.
Eine ganz blöde Frage: ist doch ein normaler Spaltenvektor, oder? Wie kann ich dann von dem eine Determinante berechnen?

Und noch eine Frage am Rande: Wann heißt es und wann ? (Oder heißt es immer und es liegt an der Sauklaue von meinem Prof, dass bei mir auch manchmal n steht?)


ist ein Vektor mit einer 1 an der Stelle . An den anderen Stellen des Vektors stehen Nullen. Du hast demnach eine quadratische Matrix vorliegen (zeilenweise gebildet von diesen Einheitsvektoren), um dessen Determinante es geht.

Ob es oder heißen sollte, lässt sich nur aus dem Zusammenhang beurteilen. Wesentliche Verwechselungsgefahr sehe ich da aber nicht.


Zitat:
3. Wozu ist die allgemeine Normalenform gut? Irgendwie kann mir das keiner sagen (unser Prof hat aber leider extra betont, dass wir die JNF nicht können müssen, aber die allgemeine schon...).
Um ein Polynom als Matrix darzustellen?


Was meinst du mit allgemeiner Normalenform ? Es gibt wohl eine Reihe von Normalformen für verschiedene Zwecke.

Ein Polynom ist keine Matrix, nein! Wichtig ist zB das charakt. Polynom oder Minimalpolynom einer Matrix.

Grüße Abakus smile
gessi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal!

Zu 3.
Ich versuch mal, die Def aufzuschreiben (bei unserm chaotischen Aufschrieb ist allerdings nicht ganz klar, was dazugehört, ein paar Zwischenbeweise lasse ich weg...)
Wir haben V = Rv (R Ring) ein endlich erzeugter R-Modul mit ann(v) = Rq; . . q = 0 geht nicht, q = ist uninteressant. Bleibt q "echtes" Polynom mit .
sind lin. unabh.

Also ist dim Rv = d = deg q := dim(ann(v))
.
Damit ist die Matrix, die in der ersten Spalte 0 1 0 ... 0 stehen hat, in der 2. steht 0 0 1 0 ... 0 usw. In der letzten Spalte stehen (damit ist die erste Spalte der Koeffizientenvektor von f(v), die zweite von f^2(v) usw.)
Diese Matrix ist die allgemeine Normalenform.

Aber was fange ich damit an?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

zu (3): ja, ich verstehe jetzt etwa, was du meinst. ist ein Vektor, die Elemente q(f(v)) bilden nun einen Unterraum, wenn q alle Polynome durchläuft. Das werdet ihr bewiesen haben.

Dieses f wird eingeschränkt auf diesen Unterraum betrachtet:

Die Folge von Vektoren wird nun irgendwann linear abhängig, d.h. es gibt ein k mit:



Daraus lässt sich das Minimalpolynom von f ersehen, dieses wird q genannt, es ist:



Damit hast du:

- ist eine Basis des oben genannten Unterraumes.

- das Minimalpolynom von f auf diesem Unterraum ist q

- die Matrixdarstellung von diesem f bzgl. der obigen Basis ist die von dir angegebene Matrix (allgemeine Normalenform).


Grüße Abakus smile
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