Integralfkt. ohne Benutzung der Stammfkt. zeigen

23.06.2006, 16:25

Jessi19

Integralfkt. ohne Benutzung der Stammfkt. zeigen

Hallo,

wir sollen zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F(x):=\int_1^x \frac{1}{t} dt \end{eqnarray*}$ der Ausdruck: $\begin{eqnarray*} F(xy) = F(x) + F(y) \end{eqnarray*}$ gilt. Dabei dürfen wir aber den Logarithmus nicht verwenden.

Kann mir jemand einen Tipp geben wo ich am besten ansetze? Geht das über Riemannsche Summen oder ganz anders?

Danke,

Jessi

23.06.2006, 16:40

Leopold

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Fasse in

$\begin{eqnarray*} g_y(x) = F(xy) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

die Größe $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ als Parameter auf. Zeige (Kettenregel):

$\begin{eqnarray*} g_y'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt beachte, daß auch $\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gilt. Daraus kann man einen Schluß ziehen ...

23.06.2006, 18:18

Jessi19

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Entschuldige, ich komme nicht drauf.
$\begin{eqnarray*} F(x)'=\frac{1}{x} \qquad \forall_{x \geq 1} \end{eqnarray*}$ , dann also ohnehin auch für $\begin{eqnarray*} x \cdot y, \quad x,y \geq 1 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Ich fürchte, ich stehe ziemlich auf dem Schlauch.

Grüsse,

Jessi

24.06.2006, 07:07

Leopold

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Daß $\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist, und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ (nicht nur für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ ), ist gerade der Inhalt des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Und dann ist für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ natürlich auch $\begin{eqnarray*} F'(xy) = \frac{1}{xy} \end{eqnarray*}$ .

Nun solltest du die Funktion

$\begin{eqnarray*} g_y(x) = F(xy) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

betrachten mit $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ als Parameter. Das ist eine Verkettung, denn es wird die Eingabe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja zuerst mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ multipliziert, bevor $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ angewendet wird. Das ist wie bei

$\begin{eqnarray*} u(x) = \sin{(2x)} \end{eqnarray*}$

Hier wird die Eingabe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zuerst mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ multipliziert, bevor der Sinus darauf losgeht. Und die Ableitung ist nach Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \left( \cos{(2x)} \right) \cdot 2 \end{eqnarray*}$

Und etwas abstrakter mit einem Parameter:

$\begin{eqnarray*} v_a(x) = \sin{(ax)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_a'(x) = \left( \cos{(ax)} \right) \cdot a \end{eqnarray*}$

Und wenn - zugegebenermaßen etwas ungewöhnlich - der Parameter $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ heißt, läuft das auch nicht anders:

$\begin{eqnarray*} w_y(x) = \sin{(xy)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_y'(x) = \left( \cos{(xy)} \right) \cdot y \end{eqnarray*}$

Und jetzt zurück zum obigen $\begin{eqnarray*} g_y(x) \end{eqnarray*}$ . Wer spielt hier die Rolle von $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ , wer die Rolle von $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ ?

24.06.2006, 12:44

Jessi19

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Hallo Leopold,
danke für deine Mühe.
Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen. Wegen $\begin{eqnarray*} F'(xy) = \frac{1}{x} = F'(x) \end{eqnarray*}$ wird durch y die Funktion nur auf der z2-Achse (in z1,z2 Koordinaten) verschoben, also muß F(xy) = F(x) + h_y sein. Umgekehrt kann man x als Parameter betrachten, dann ist F(xy) = F(y) + h_x. Vergleicht man die Koeffizienten gelangt man zur Behauptung.
Muß man jetzt noch ausführlicher zeigen, daß h_x auch F(x) ist oder genügt es die Koeffizienten zu vergleichen?

Grüsse,
Jessi

24.06.2006, 18:10

klarsoweit

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RE: Integralfkt. ohne Benutzung der Stammfkt. zeigen
Alternativ schlage ich diesen Weg vor:
$\begin{eqnarray*} F(xy) = \int_1^{xy} \frac{1}{t} dt = \int_1^{x} \frac{1}{t} dt + \int_x^{xy} \frac{1}{t} dt \end{eqnarray*}$
Im 2. Integral kann man t=u*x substituieren und dann ist man eigentlich schon da. Augenzwinkern

24.06.2006, 19:39

Leopold

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Zitat:

Original von Jessi19
Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen. Wegen $\begin{eqnarray*} F'(xy) = \frac{1}{x} = F'(x) \end{eqnarray*}$ wird ...

Das ist nicht richtig!

Und so stimmt's: $\begin{eqnarray*} F'(xy) = \frac{1}{xy} \end{eqnarray*}$
Unterscheide das von der Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} g_y(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g_y'(x) = F'(xy) \cdot y = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommt von der Kettenregel her.

Du hast hier einen "klassischen" Fehler gemacht. Siehe dazu auch hier.

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