Grenzverhalten/Grenzwert, dringend hilfe

23.06.2006, 18:31

fRiKi

Grenzverhalten/Grenzwert, dringend hilfe

Hallo,
mach die FH-Reife (dual) im 1. Jahr und da haben wir das Thema (siehe oben) aber ich kapier das einfach nicht mehr. Ich schreib morgen eine Klausur und hab zwar den Rest gelernt aber das geht mir nicht in den Kopf. Wäre es möglich wenn Ihr mir bei folgendem Beispiel , die ganzen Schritte mal erklären würdet:

f(x): 2x
------
x+5

also das Programm wäre wie bei uns im Heft.
IDf=IR( ? ) ----> -5
dann wäre die senkr. Asymptote ja auch -5 -> x= -5 ... bis hierhin kapier ich es.
wie man auf die waagerechte Asymptote y=2 kommt weiss ich nicht.
und das ganze mit +/- unendlich usw. auch nicht..
ich wäre sehr dankbar wenn mir das jemand gut erklären würde.

23.06.2006, 18:47

Abendschüler

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RE: Grenzverhalten/Grenzwert, dringend hilfe
Also die restlichen Asymptoten erhältst Du in dem Du x gegen unendlich laufen läßt also lim x gegen Unendlich. (Ich komme mit dem Formeleditor leider noch nicht zurecht.) und x soweit wie möglich aus Zähler und Nenner kürzt bis ein Grenzwert zu erkennen ist. In Deinem Fall:
lim(x gegen unendlich) 2x/(x+5)=
lim(x gegen unendlich) 2x/x(1+5/x)=
lim(x gegen unendlich) 2/(1+5/x)

So und da 5/x bei x gegen unendlich gegen Null geht ist der Grenzwert 2/1.

23.06.2006, 18:54

fRiKi

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wie kommst du auf die 5/x... bin schon etwas weiter danke

23.06.2006, 19:17

Abendschüler

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wenn Du im Nenner ein x ausklammerst erhältst Du 2x/(x(1+5/x)). Das x kürzt Du mit dem aus dem Zähler und erhältst 2/(1+5/x). Der Grenzwert ist dann Deine Asymptote. So umgeformt kannst Du die Gleichung auch verwenden, wenn Du sie auf das Verhalten von f(x) bei x gegen +-unendlich untersuchst. In iesem Fall ist das Verhalten von f(x) bei x gegen + und - unendlich gleich. Es macht schlißlich keinen unterschied ob du +0 oder -0 rechnest. Grundsätzlich kann man sagen bei
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^m}{x^n} \end{eqnarray*}$
wenn m=n erhältst Du eine Waagerechte Asymptote
wenn m<n ist Diese gleich Null
wenn m=n+1 ist es eine schräge Asymptote
und wenn m>n+1 ist es eine Näherungskurve.
Bsp.:
für m=n+1
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2+1,5x}{2x-1} \end{eqnarray*}$

Polynomdivision
$\begin{eqnarray*} (x^2+1,5x)/(2x-1)=0,5x+1+\frac{1}{2x-1} \end{eqnarray*}$

Schiefe Asymptote:
$\begin{eqnarray*} g(x)=0,5x+1 \end{eqnarray*}$

für m>n+1
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+x+1}{x} \end{eqnarray*}$ ein x kürzen
$\begin{eqnarray*} =x^2+1+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Näherungskurve:
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$

24.06.2006, 09:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Abendschüler
wenn Du im Nenner ein x ausklammerst erhältst Du 2x/(x(1+5/x)).

Wenn du Latex verwendest, wird es lesbarer: Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x \cdot (1+\frac{5}{x})} \end{eqnarray*}$

24.06.2006, 10:26

Abendschüler

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Danke!
Jetzt hab ichs kapiert. Hab meinen Beitrag entsprechend editiert. Wink

Nur, wie kriegst Du die schönen Bruchstriche hin?

24.06.2006, 10:32

Calvin

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Zitat:

Original von Abendschüler
Nur, wie kriegst Du die schönen Bruchstriche hin?

code:
1:	\frac{zaehler}{nenner}

ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{zaehler}{nenner} \end{eqnarray*}$

24.06.2006, 10:39

Abendschüler

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Super!
Das sieht schon viel besser aus.
Vielen Dank. Freude

24.06.2006, 11:02

kikira

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Das mit der Grenzwertbestimmung der waagrechten Asymptote kapier ich nicht so ganz:

wenn man:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x}{x + 5} \end{eqnarray*}$

hat und die waagrechte Asymptote bestimmen will, dann braucht man doch nur überlegen, wogegen es strebt, wenn man für x unendlich einsetzt.

Und da kommt dann raus $\begin{eqnarray*} \frac{2 * unendlich}{1 * unendlich} \end{eqnarray*}$

die + 5 kann man vernachlässigen, weil das kaum ins Gewicht fällt.

Wieso spaltet ihr das so kompliziert auf? Hat das einen Hintergrund, den ich nicht kenne?

lg kiki

24.06.2006, 11:19

Abendschüler

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Stimmt.
Im Prinzip kann man die 5 vernachlässigen. Aber halt nur weil, wenn Du Unendlich kürzt halt
im Nenner $\begin{eqnarray*} 1+\frac{5}{\infty} \end{eqnarray*}$ erhältst und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\infty} \end{eqnarray*}$ ist als 0 definiert.

24.06.2006, 13:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Abendschüler
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\infty} \end{eqnarray*}$ ist als 0 definiert.

Grrr.

Ist es nicht!
Es gilt folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 \end{eqnarray*}$
Nicht mehr und nicht weniger.

24.06.2006, 13:46

Abendschüler

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Upps. Mein Fehler. Tschuldigung.
Heißt das jetzt auch, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x+5=\infty \end{eqnarray*}$
und meine Umformung in meinen Kurvendiskussionen unnötig waren? So hab ich es auf jeden Fall gezeigt bekommen. verwirrt

EDIT: Habe mir grad auf Wikipedia den Beitrag zur Unendlichkeit angeschaut.
Dann ist diese Umformung anscheinend wirklich nur zur Verdeutlichung.
Vielleicht sinnvoll bei unübersichtlicheren Thermen.

24.06.2006, 14:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Abendschüler
Heißt das jetzt auch, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x+5=\infty \end{eqnarray*}$

Ja. Da man aber mit unendlich nicht rechnen kann, waren die Umformungen nicht überflüssig. Bei gebrochen rationalen Funktionen kürzt man durch eine geeignete Potenz von x, um auf Ausdrücke zu kommen, deren Grenzwerte nicht unendlich sind. Dann kann man wieder gescheit rechnen. Augenzwinkern

24.06.2006, 14:37

Abendschüler

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Und ich hatte schon für kurze Zeit befürchtet, ich tue das nur meinem Lehrer zum Gefallen. Augenzwinkern

Danke, dieses Forum ist echt Super.

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