Direkter und Induktionsbeweis

19.09.2008, 11:22	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkter und Induktionsbeweis $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} = \frac{n^{n}}{n!} \end{eqnarray}$ soll für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ bewiesen werden und zwar sowohl durch direktes Ausrechen als auch durch vollständige Induktion. Leider weiß ich auf beide Arten nicht so Recht weiter Induktion : Für 2 stimmt die Aussage. Angenommen $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} = \frac{n^{n}}{n!} \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} (1 + \frac {1}{n})^{n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n!(n+1)} \end{eqnarray}$ Das führt wegen der Induktionsanahme zu : $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{n})^{n} = \frac{\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}n^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}n^{n-2}+ ... +\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}}{n!} \end{eqnarray}$ . Aber ich hab keine Idee wie ich hier weitermachen soll . Zu dem direkten Beweis fällt mir gar nichts ein Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen ? lg
19.09.2008, 11:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkter und Induktionsbeweis Warum so kompliziert? Ersetze in $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} (1 + \frac {1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ das Produkt $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} \end{eqnarray}$ mit der Induktionsannahme. Der Rest ist eine Zeile. Bedenke auch $\begin{eqnarray} 1 + \frac 1 n = \frac{n+1}{n} \end{eqnarray}$
19.09.2008, 11:54	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar Danke
19.09.2008, 12:13	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin leider noch immer nicht dahinter gekommen wie ich direkt beweisen kann Hat irgendjemand einen Ansatz für mich ? lg
19.09.2008, 12:19	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkter und Induktionsbeweis $\begin{eqnarray} (1 + \frac{1}{1} ) (1 + \frac{1}{2})² ... (1 + \frac{1}{n - 1})^{n-1} = 2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{4}\right)^4\dots \end{eqnarray}$
19.09.2008, 12:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese willkürliche Unterscheidung zwischen "direkt" und "Induktion" ist m.E. hier völliger Humbug. Die "direkte Argumentation" verläuft mit - ich nenne es mal - "Pünktchen, Pünktchen"-Argumenten wie $\begin{eqnarray} \left(1 + \frac{1}{k}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n-1}\right) = \frac{k+1}{k} \cdot \frac{k+2}{k+1} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{n}{k} \end{eqnarray}$ . Hinter den $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ steckt letzten Endes auch nur eine versteckte vollständige Induktion.
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