Integral in eine Summe ziehen

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19.09.2008, 13:41	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral in eine Summe ziehen Hallo. Unter welchen Bedingungen kann ich folgendes tun? $\begin{eqnarray} \sum^{\infty}_{n=0} \int^{\infty}_{0} \frac{e^{-x} \cdot x^{n}}{n!}dx=\int^{\infty}_{0}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{e^{-x} \cdot x^{n}}{n!}dx \end{eqnarray}$ hat sicher irgendwas mit konvergenz zu tun... Gruesse! Sven
19.09.2008, 13:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral in eine Summe ziehen Das Stichwort lautet: gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.
19.09.2008, 13:46	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
oh gott! da muss ich sicher ein extra-semester studieren, um das zu kapieren bzw. nachzuweisen ;-) danke!
19.09.2008, 13:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich reicht es auch aus, dass der Integrand (oder Summand - wie man es nun gerade bezeichnen will) nichtnegativ ist. Schlimmstenfalls kommt dann im Divergenzfall auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ heraus, aber das wäre dann ja auch Gleichheit.
21.09.2008, 10:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Warum reicht das aus?
21.09.2008, 12:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Fubini, angewandt auf das Produktmaß $\begin{eqnarray} \mbox{Lebesguemaß} \otimes \mbox{Zählmaß} \end{eqnarray}$
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21.09.2008, 12:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
22.09.2008, 09:07	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ihr beiden. Erstmal vielen Dank für eure Antworten! Jetzt nochmal zur Kontrolle, ob ich das auch einigermaßen verstanden habe: Ich nutze für die obige Umformung den Satz von Fubini bzgl. eines Produktmaßes. In diesem Fall habe ich quasi das Produkt eines Lebesgue-Maßes (Integral dx) mit einem Zählmaß (Summe über n). Und wenn nun meine Funktion $\begin{eqnarray} \frac{e^{-x}\cdot x^{n}}{n!}>=0 \end{eqnarray}$ ist für alle x,n , dann kann ich Summe und Integral tauschen! Richtig???
22.09.2008, 11:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Aber warum hier nicht einfach konkret rechnen: Das unbestimmte Integral ist $\begin{eqnarray} \int ~ e^{-x} \frac{x^n}{n!} ~ \dd x = -e^{-x} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ , und somit $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} ~ e^{-x} \frac{x^n}{n!} ~ \dd x = 1 \end{eqnarray}$ . Dann steht bei dir im Prinzip die Gleichheit $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} 1 = \int\limits_0^{\infty} ~ 1 ~ \dd x \end{eqnarray}$ , also auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ .
22.09.2008, 13:12	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, aber dem kann ich grad nicht folgen. wie hast du das unbestimmte integral bestimmt?
22.09.2008, 13:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenziere als Kontrolle, dann siehst du, dass es stimmt. Die Struktur ist mir von der Erlangverteilung her bekannt. Zu Fuß kommt man aber auch drauf durch geduldige mehrfache partielle Integration. Soviel zu diesem "wie", das ich abgrundtief hasse.
22.09.2008, 13:49	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. es sah schon nach partieller integration aus - aber ich dachte du wärst da vielleicht auf einem kürzeren weg angekommen als es diverse male partiell zu integrieren. weil wenn ich das in meiner arbeit benutzen will, muss ich gleich wieder nen induktionsbeweis führen, um das zu zeigen. aber geht dann wohl nicht anders. im prinzip läuft das ganze auf eine gamma-verteilung hinaus (erlangverteilung ist schon eine spezielle gamma-verteilung).

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