Dreieck

19.09.2008, 18:55

gugelhupf

Dreieck

Hi, : )

wenn man drei Pkte gegeben hat und man soll beweisen, dass ein Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist.. soll ich das mit dem Satz des Pythagoras machen oder mit dem Skalarprodukt?

Mit dem Skalarprodukt kann ich doch nachschauen, ob da irgendwo 90° rauskommt oder nicht?
Oder geht Pythagoras?

19.09.2008, 19:03

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

In was für Dreiecken gilt denn der Satz des Pythagoras nur?! ;-)

19.09.2008, 19:05

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

In 90°-Dreiecken .. eigentlich halt. Schon.

Aber da wir gerade Skalarprodukt gemacht haben, dachte ich, es wäre damit auch machbar.

Ich habe jetzt auch bei Pythagoras noch um keine konkrete Umsetzung gedacht. Ich habe ja nur Punkte, daraus muss ich erstmal Vektoren basteln und diese Vektoren in Längen umrechnen und dann Pythagorasregeln nachlesen?? : )

19.09.2008, 19:09

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher geht das auch mit dem Skalarprodukt, ich dachte dich hat nur interessiert, ob es mit Pythagoras auch ginge ;-)
Ich nehme an ihr sollt dann das Skalarprodukt benutzen, aber mit Pythagoras ginge es wie folgt:
- Berechne die Vektoren zwischen den Punkten
- Berechne die Länge der Vektoren
- Überprüfe, ob a² + b² = c² gilt
- Wenn ja ist das Dreieck rechtwinklig

19.09.2008, 19:10

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Coolw, und was ist mir Gleichschenkligkeit? Nur schauen, ob zwei Seiten gleich lang sind?

19.09.2008, 19:13

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das geht dann wieder nur mit der Länge.
Das Skalarprodukt kann im geometrischen Sinne ja nur Aussagen über den Winkel zwischen zwei Vektoren machen, nicht über die Länge.

19.09.2008, 19:15

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja wir haben bisher nur mit der Kosinusform und Koordinatenform Sachen gemacht.

19.09.2008, 19:17

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das reicht ja auch zum Überprüfen der Orthogonalität von zwei Vektoren, oder?
Und wenn du die Längen vergleichst kannst du dann noch rausfinden, ob das Dreieck gleichschenklig oder sogar gleichseitig ist...

19.09.2008, 19:20

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn da der Unterschied??

Ich habe jetzt raus bei Pythagoras, dass es geht. 4,2 sind zwei Seiten lang und 6 ist die dritte Seite lang. Also schon rechtwinklig und jetzt diese zwei Seiten mit 4,2 sind jetzt gleichseitig oder gleichschenklig?

19.09.2008, 19:22

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ääähm

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
Ein Dreieck heißt gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.

19.09.2008, 19:31

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klarrrr rrr. Dann wohl nur gleichschenklig. Kann man das nicht über Winkel machen? Innenwinkelsatz oder so geht nicht?

Ist es eigentlich egal, ob ich Kosinusform oder Koordinatenform mache?

19.09.2008, 19:37

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf
Kann man das nicht über Winkel machen? Innenwinkelsatz oder so geht nicht?

Mir fällt im Moment kein derartiger Satz ein, mit dem man das zeigen könnte. Vielleicht bin ich aber auch nur zu blöd.

Zitat:

Ist es eigentlich egal, ob ich Kosinusform oder Koordinatenform mache?

Ich weiß jetzt nicht, was du unter den beiden Formen verstehst. Ich nehme an die Kosinusform ist $\begin{eqnarray*} \cos(a,b) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot|b|} \end{eqnarray*}$ ?

19.09.2008, 19:40

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja auch okay, ich habe jetzt schon zwei mal ausgerechnet, dass es rechtwinklig ist. Und damit auch gleichschenklig.

Aber ich habe das mit dem Skalar jetzt so gemacht, dass ich gerechnet habe Vektor AB war (-3|3) und Vektor BC war (-3|-3)

Dann habe ich nur gerechnet -3 * 3 + (-3) * (-3) = 0

Und dann cos von 0 = 90°

Wenn ich jetzt diese Kosinusform mache.. wofür muss ich nochmal durch die einzelnen Beträge durch rechnen, wenn ich auch nur so auf cos auf dem Taschenrechner drücken kann?

19.09.2008, 19:58

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

also diese Frage ist wohl unverständlich, aber ich glaube, ich möchte nur wissen, was genau der Unterschied zw beiden Formen ist und wann ich welche nehmen soll : '(

Noch eine Frage

Ich soll jetzt einen Pkt D dazu machen per Ortsvektor, um damit ein Quadrat aus dem Dreieck zu machen.

Ich muss dazu genau einen Punkt gegenüber dem 90°-Winkel machen oder?? Mir fällt sonst nichts ein außer das.

Das ist dann doch aber ein Parallelogramm, wenn ich das so mache ,(

19.09.2008, 20:05

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

War nur Abendessen...

Was du gemacht hast ist auch ok. Aus $\begin{eqnarray*} a \cdot b = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dass a und b Orthogonal sind. Das lässt sich auch sofort aus der von mir angegebenen Formel herleiten. Die ist eben nur allgemein gehalten, du kannst damit eben auch Aussagen machen, wenn der Winkel nocht 90° beträgt, sondern zB 60 oder so...

Zu deiner zweiten Frage: Ja, der Punkt sollte gegenüber dem 90° Winkel legen, wenn du ihn richtig legst wird das Ganze tatsächlich ein Quadrat...
Kleiner Tipp: In deiner Zeichnung musst du D so legen, dass DA senkrecht auf DB steht.

19.09.2008, 20:25

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

achso okay .D
habe ich immer noch nicht verstanden, was genau der Unterschied zw beiden Gleichungen ist.

Ich habe das ja jetzt so verstanden. Mit der Koordinatenform rechne ich eine Zahl aus, zb -5 oder 18. Aber da darf ich nicht einfach auf den Taschenrechner shift+cos drücken oder? Ich kann aus dieser Zahl doch noch keinen Winkel machen oder??

Bei 18 sagt der Taschenrechner auch error. ./

Aber bei der Kosinusform, also deiner Formel, kriegt man auch eine Zahl raus und bei der darf man auf shift+cos drücken und dann kommt der Winkel.

Achso okay, ja, senkrecht über DB kommt ja wirklich ein Quadrat raus. :>
Aber ich weiß gerade nicht, wie ich D aufstellen soll.

Ich muss ja zwei Vektoren bilden und einen Punkt aufstellen.

AD = OD - OA klappt leider nicht, weil ich kein OD habe.

oder soll ich für AD einfach -BC nehmen, weil das parallel liegt?

19.09.2008, 20:30

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich kann aus dieser Zahl doch noch keinen Winkel machen oder??

Nein. Dazu müsstest du diese Zahl erst durch $\begin{eqnarray*} |a| \cdot |b| \end{eqnarray*}$ teilen, wmoit du dann wieder bei der Kosinus Formel wärst.
wenn $\begin{eqnarray*} a\cdot b = 0 \end{eqnarray*}$ ist, kannst du dir diesen Schritt natürlich sparen, denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{|a| \cdot |b|} = 0 \end{eqnarray*}$ ! Das ist aber ein SONDERFALL!

Zitat:

oder soll ich für AD einfach -BC nehmen, weil das parallel liegt?

kommt natürlich darauf an, in welcher Richtung du deinen Vektor von B nach C (oder eben C nach B) gewählt hast aber klingt gut Freude

19.09.2008, 20:37

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dann ist die Koordinatenform nur ein Schritt hin zum Winkel aber alleine ist es nicht zum Winkelausrechnen.

okay, dann rechne ich jetzt so

AD = OD - OA
OD = -BC + OA= (8|7)

Kriege ich jetzt DB so raus DB = AB + AD ??
Weiß gerade nicht, ob meine Vektorrichtungen stimmen :/

A ( 5|1)
B ( 2|4)
C ( -1|1)

AB = (-3|3)
BC = (-3|-3)
CA = (6|0)

19.09.2008, 20:45

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

DB brauchst du jetzt ja garnicht mehr ausrechnen, du solltest ja nur den Punkt D bestimmen.

Wenn ich das jetzt so auf die Schnelle richtig sehe, stimmen die Richtungen der Vektoren, kannst es ja nochmal überprüfen Augenzwinkern

19.09.2008, 20:48

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

wie überprüft man das denn?

nochmal das doofe Skalarprodukt ausrechnen? :>

19.09.2008, 20:49

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach' dir ne Skizze, zeichne dir die Vektoren in der Richtung, wie du sie ausgerechnet hast, ein und guck dann, ob du gerade richtig addier / subtrahiert hast ;-)

EDIT: Also ich bekomme (durch hingucken auf die Koordinaten der Punkte) auf den Punkt D(2/-2). Du solltest deine Rechnung also nochmal Prüfen

19.09.2008, 20:57

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ach wird schon stimmen. .D

jetzt soll ich noch ausrechnen. den mittelpunkt von ABCD .. das geht so ja: 0,5 CD = OM + OD

oh je : '(
was hast du denn gerechnet??

19.09.2008, 21:01

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, Geheimtrick Big Laugh

Rechtwinklige Dreiecke, die auchnoch gleichschenklig (am rechten Winkel) sind, haben folgende tolle
Eigenschaft: Spiegelt man sie an der Hypothenuse, bekommt man ein Quadrat Augenzwinkern

Du musst also nur B an der Hypothenuse (AC) spiegeln Augenzwinkern

19.09.2008, 21:03

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, aber soweit bin ich noch nicht. Aber shit, dann habe ich ja voll den Fehler .O

Aber ich sehe gar keinen Fehler.

19.09.2008, 21:06

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach' dir mal eine Skizze und zeichne die Vektoren so ein, wie du sie ausgerechnet hast. Dann müsstest du den Fehler entdecken

EDIT: Ich habe die SKizze mal gemacht. Das ist falsch:

Zitat:

OD = -BC + OA= (8|7)

19.09.2008, 21:12

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber es ist doch logisch?

Das ist ja die Skizze:

D wäre bei mir dann = (8/4) nicht 8/7 aber ist ja trotzdem nicht 2;-2

19.09.2008, 21:14

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment: Bei mir liegt der rechte Winkel im Punkt B, nicht bei C?! D muss also gegenüber B liegen.

19.09.2008, 21:21

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

oops ja stimmt. ich habe ja das S-Produkt für AB * BC ausgerechnet.

ach das ist ja doof, ich habe da nicht genau geschaut. das ist ja schon alleine wegen der Punktbeschriftung logischer als D dort unten zu setzen. -.-

also AD = OD - OA
BC = OD - OA
OD = BC + OA

coooolw, ich komme dann auf 2;-2

19.09.2008, 21:30

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf

jetzt soll ich noch ausrechnen. den mittelpunkt von ABCD .. das geht so ja: 0,5 CD = OM + OD

also ich habe jetzt gerechnet

OM = OA + 0,5 CA

kommt raus 8;1

whu, ich danke dir .)

war gar nicht schwer, aber ich stelle mich trotzdem doof an .>

thankkks

20.09.2008, 10:03

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

nur der ordnung halber:
klar hätte man den nachweis, dass es sich um ein gleichschenkeliges rechtwinkeliges dreieck = ein halbes quadrat handelt,
auch über die winkel führen können

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix} -6\\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}{6\cdot 3\sqrt{2}}\to\alpha=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\gamma=\frac{\begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\- 3 \end{pmatrix}}{6\cdot 3\sqrt{2}}\to\gamma=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

womit man schon fertig ist smile

und

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}\to M(2/1) \end{eqnarray*}$

22.09.2008, 13:20

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist mein mittelpunkt falsch??

22.09.2008, 13:29

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. (jedenfalls deckt sich riwes Ergebnis mit meinem)
Da es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt, funktioniert das mit dem Überprüfen der gleichschenkligkeit via Skalarprodukt auch - das war mir vorher auhc net aufgefallen ^^
Wenn du mal in deine Zeichnung guckst, solltest du auch sehen, warum riwes Weg zum Mittelpunkt der richtige ist.

22.09.2008, 13:39

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja seins stimmt schon, aber meins sieht auch logisch aus ;/

OM = OA .. er nimmt OC ... dann + 1/2 die diagonalenstrecke CA nehme ich ja auch

22.09.2008, 13:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Richtung des Vektors kommt es an:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

ist ebenso richtig wie

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} \end{eqnarray*}$ ist falsch, wenn man den Ortsvektor des Mittelpunkts $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ berechnen will.

22.09.2008, 14:14

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe, aber müsste es nicht heißen, wenn ich von dem punkt A dann die hälfte des vektors AC nehmen will .. OM = OA - 0,5 AC .. weil der vektor ja heißt CA .. aber wenn ich ihn umkehre, muss ich ihn ja negativ machen.
das ist aber nicht logisch, wenn man von vektoraddition spricht.

22.09.2008, 15:01

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar ist $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA} \end{eqnarray*}$ , falls du das meinst. Denn so richtig kann ich nicht enträtseln, was du hiermit

Zitat:

Original von gugelhupf
aber müsste es nicht heißen, wenn ich von dem punkt A dann die hälfte des vektors AC nehmen will .. OM = OA - 0,5 AC .. weil der vektor ja heißt CA

sagen willst. verwirrt

22.09.2008, 17:48

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das meinte ich in etwa.

der Vektor heißt doch CA

und ich habe genommen OM = OA + 0,5 CA

aber eigentlich wollte ich AC nehmen.. also müsste es doch heißen OM = OA - 0,5CA oder nicht?

klappt aber eh nicht, ich komme nicht auf riwis ergebnis ./

22.09.2008, 18:15

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

22.09.2008, 18:29

gugelhupf

Auf diesen Beitrag antworten »

ja so meinte ich das.

also kann ich mir eigentlich merken, dass sich immer pfeilspitzen treffen müssen an dem punkt, den man berechnen möchte. wie in dem fall OM = OA - 0,5 CA

ich weiß nämlich immer nicht bescheid, in welche die richtung die vektoren verlaufen müssen. mache ich immer nach gefühl.

aber jetzt kommt jedenfalls wirklich raus bei OM = OA - 0,5 CA = 2;1 ...

thanks : D

ach ja, was ist das für eine rechenregel mit den winkeln?
ich kenne das eine zeichen in deiner zweiten gleichung dazu nicht

22.09.2008, 19:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gugelhupf
ja so meinte ich das.

also kann ich mir eigentlich merken, dass sich immer pfeilspitzen treffen müssen an dem punkt, den man berechnen möchte. wie in dem fall OM = OA - 0,5 CA

ich weiß nämlich immer nicht bescheid, in welche die richtung die vektoren verlaufen müssen. mache ich immer nach gefühl.

aber jetzt kommt jedenfalls wirklich raus bei OM = OA - 0,5 CA = 2;1 ...

thanks : D

ach ja, was ist das für eine rechenregel mit den winkeln?
ich kenne das eine zeichen in deiner zweiten gleichung dazu nicht

irgendwie verwiirst du mich mit deinen formulierungen smile

zum 1. teil, ich denke, du meinst nun das richtige Freude

zum 2.:

$\begin{eqnarray*} a, b, c ...\to \alpha ,\beta ,\gamma.... \end{eqnarray*}$

das ist der 3. buchstabe des (alt)griechischen alphabets,
darum heißt so smile

und leider nicht alphabetagamms smile

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Dreieck

Verwandte Themen