Abbildungen (2)

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Musti Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen (2)
Gegeben sind zwei Abbildungen und

a) Sind und surjektiv, so ist auch surjektiv.

So da ich gerade dabei bin zu lernen wie man richtig beweist, will ich wieder wissen ob ich es richtig mache.

Also ich beginne so: Ich nehme die Definition der Surjektivität.

Zu zeigen: Es gibt ein mit

Beweis: Da surjektiv ist gilt: Es gibt mit .

Da surjektiv ist gilt: Es gibt ein mit



Ist der Beweis so ok?
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mit deinem "zu zeigen" nicht einverstanden. Zu zeigen ist nicht, dass es gibt mit - das bedeutet nämlich nur, dass der Bildraum von nicht leer ist.

Du willst zeigen, dass es für gegebenes ein gibt mit .
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerstmal:

Was genau willst du zeigen verwirrt
Da fehlt doch eindeutig ein "für alle".

Zeigen musst du:
Für alle existiert mind. ein mit

Edit: Zu langsam.

air
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke für den Hinweis.

So die Aufgabe lautet explizit: Beweise oder widerlege die Allgemeingültigkeit der folgenden Aussagen.
Also gegeben sind immer noch die beiden Abbildungen.

Die nächste Aussage ist:

Ist surjektiv, so ist surjektiv.

Ich beginn so:

Zu zeigen:

mit

Beweis:

Sei beliebig, dann gilt

So richtig jetzt?

Ich hoffe schon.

Die nächste Aussage ist jetzt:

Ist surjektiv, so ist surjektiv.

Ich wollte jetzt fragen ob ich diesen Beweis genau so wie den Beweis oberhalb machen kann und am Ende schreibe ...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Musti

Ist surjektiv, so ist surjektiv.


Sei mit und . Ist surjektiv? Ist surjektiv?

[wobei definiert durch .]
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn jetzt damit sagen?

War der Beweis falsch?
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte dich damit fragen ob die Behauptung eigentlich stimmt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Sei mit und . Ist surjektiv? Ist surjektiv?

[wobei definiert durch .]


Du bringst hier ein Beispiel, wo nicht surjektiv ist und ebenfalls, warum?

Gruß
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll

Du bringst hier ein Beispiel, wo nicht surjektiv ist


Sicher?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Die Abbildung lautet doch:



und ist sicher nicht ganz .
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Roman, ich hab mich mit der Reihenfolge selbst verarscht Hammer Asche aufs Haupt.

Es hätte eine Abbildung werden sollen...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen (2)
Zitat:
Original von system-agent
Es hätte eine Abbildung werden sollen...


Du hättest kein Gegenbeispiel gefunden, da die Aussage korrekt ist Augenzwinkern .

Zitat:
Original von Musti
Beweis:

Sei beliebig, dann gilt

So richtig jetzt?


Du solltest in deiner Schreibweise genauer werden und führe deine Gedanken ruhig mit Text aus:

Sei beliebig, dann gibt es für ein , für das gilt: , da surjektiv.

Mit gilt dann:



Da beliebig war, gibt es für alle ein mit .

Damit ist surjektiv.


Zitat:
Ich wollte jetzt fragen ob ich diesen Beweis genau so wie den Beweis oberhalb machen kann und am Ende schreibe ...


Das solltest du mal etwas genauer erklären, wie du das meinst?

und kommen aus verschiedenen Mengen. verwirrt
Musti Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen (2)
Danke Roman, das ist super formuliert dein Beweis.
Ich wünschte ich könnte das genauso.

Also kommen wir zu der Aussage, die falsch ist:

c) Ist surjektiv, so ist surjektiv.

Jetzt müsste ich doch genauso wie mit dem Beweis vorher anfangen:

Sei beliebig dann gibt es ein mit , da surjektiv.

Also wir haben nocheinmal die Surjektivität definiert und es vorausgesetzt, da surjektiv ist.

Wie widerlege ich aber jetzt das nicht surjektiv ist?

Zu zeigen ist ja: Sei beliebig, dann gibt es ein mit .

Ich würde es jetzt so ausprobieren bin mir aber zu 100 Prozent sicher dass das Unfug ist:

Da ist wegen surjektiv, gilt: . Da ist, gibt es für kein mit .

Das ist bestimmt falsch, aber was anderes fällt mir auch nicht ein.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ein allgemeiner Hinweis:
Wenn man Aussagen widerlegen will, dann reicht ein Gegenbeispiel.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Wie finde ich denn hier jetzt ein Gegenbeispiel? verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich zwar oben mit der Aufgabenreihenfolge verwirren lassen, aber du kannst das Beispiel von mir jetzt nutzen:
mit und .
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage die zu widerlegen ist, besagt, dass, wenn eine Hintereinanderausführung surjektiv ist, folgt immer f surjektiv.

Bilde also eine Abbildung die surjektiv ist, aber nicht.

Der Ansatz von system-agent im vierten Posting ging in die Richtung, nur das er versehntlich die Reihenfolge der auszuführenden Abbildungen verdreht hatte.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

So ich muss jetzt bilden.



Bin mir aber nicht sicher mit dem =1 am Ende. Ich glaub da muss =x hin.
Richtig?

Um ehrlich zu sein komme ich mir sehr blöd vor. Warum kann ich das nicht unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Musti




Das macht keinen Sinn.

Angenommen wir wollen zeigen, dass eine Behauptung falsch ist. Das kann man dadurch machen, dass man ein Gegenbeispiel angibt.
Nehmen wir mal die Behauptung: Für alle gilt . Das ist sicher falsch. Wie kann man das zeigen?
Wir nehmen ein Element, für welches die Behauptung gelten müsste, das heisst ein und zeigen, dass für dieses spezielle die Behauptung eben doch falsch ist.
In dem Beispiel nehme ich z.B. . Die Behauptung sagt dann, dass gelten muss, aber dem ist nicht so, also war die Behauptung falsch.

Nun du hast die Behauptung:
Falls man eine Komposition von Funktionen hat und diese Komposition surjektiv ist, dann ist auch immer surjektiv.
Also wie zeigen dass dies falsch ist?
Nehmen wir ein Gegenbeispiel.
Wählen wir und wie oben.
Dann ist [beachte: ist die Menge, welche nur die reelle Zahl 1 enthält].
Und was macht die Abbildung?
Sei in .

[zuerst wurde und dann verwendet].
Da in beliebig war, ist also die Zuordnungsvorschrift von genau für jedes in .
Da immer den Wert 1 annimmt und auch nur in die Menge mit genau diesem Wert abbildet, ist sie klar surjektiv.
Mit deiner Behauptung muss nun also auch surjektiv sein.
Aber mit ist weit von sujektiv entfernt.
Also ein Gegenbeispiel.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Super verstänlich System-Agent. Ich danke dir dafür und entschuldige mich dass mein Verständnis nicht so geprägt ist.

Ich hab Mal eine Frage: Bei diesen Aussagen wusste ich welche wahr und welche nicht wahr ist. Wenn ich Mal nicht weiß welche Aussage wahr ist und welche falsch, kann ich ja nicht wissen ob ich einen Beweis oder einen Gegenbeispiel angeben muss. Wie kriege ich sowas heraus.

Denn bei den nächsten Aussagen weiß ich z.B nicht welche wahr oder welche falsch ist.

d) Ist bijektiv, so ist injektiv.
e) Ist bijektiv, so ist surjektiv.

Fange ich Mal mit d an und gehe davon aus dass es richtig ist.

Die Behauptung ist: Aus bijektiv, folgt injektiv.

Meine Voraussetzung ist:Sei beliebig, dann gibt es genau ein mit , da bijektiv.

Zu zeigen ist: Seien mit , dann gilt:
Also muss ich zeigen dass ist

Ich fange so an, die Behauptung ist: Seien mit .

Nun gilt: und somit: .

Da bijektiv ist und es für jedes genau ein gibt muss gelten:

Wäre das richtig?

Ich wäre so froh wenn ich Mal ein Erfolgserlebnis hätte traurig
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man das herausfindet, ob eine Aussage wahr oder falsch ist kann ich dir auch nicht sagen. Es ist ein bischen von "ein Gefühl dafür bekommen"...
Was du versuchen kannst ist ein Gegenbeispiel zu finden. Kannst du garkeins finden könnte es daran liegen, dass die Behauptung wahr ist. Hast du eines gefunden hat sich die Frage erledigt.

Was die Aussage (d) angeht:
Intuitiv kann man sich klar machen, was denn passiert, wenn nicht injektiv ist. Dann gibt es und in so, dass aber . Das heisst dann aber, dass zwei Urbilder hat, was ein Widerspruch zur bijektivität von ist.
Das ist dann auch schon genau dein Beweis Freude .

Nun noch ein paar Anmerkungen zu deiner Notation:
Schreibe lieber immer zuerst auf, was du für Benennungen hast, also insbesondere welche Funktionen von wo nach wo abbilden:
mit [<-- das heisst einfach dass man genau nur die Bildmenge von als Zielmenge nimmt] und .
Dann gibt es ....blabla.....
Vielleicht ist es auch besser anstatt "" lieber "" zu schreiben, nicht dass du mal durcheinander kommst.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das jetzt tatsächlich dass ich das sonst richtig bewiesen habe?
Das wäre aufjedenfall motivation genug mich da weiter reinzuhauen.

Danke auch für die Anmerkungen.

Jetzt brauch ich aber ersteinmal eine Pause für heute.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nichts an deiner Argumentation auszusetzen.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank smile
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

So nachdem ich von euch vieles gelernt habe und eine kleine Pause eingelegt habe würde ich gerne die allererste Aussage beweisen um zu schauen was ich gelernt habe.

a) Ist surjektiv, so ist surjektiv.

Behauptung:
Für alle gibt es ein mit .

Sei , dann gilt per Definition der Verknüpfung: . Da f surjektiv ist gilt: Für alle gibt es ein mit . Somit gilt: . Da die Voraussetzung besagt, dass surjektiv ist, gilt: Für alle gibt es ein mit .
Somit gilt:

Wie schaut das aus? Wäre das so in Ordnung? Oder fehlt da noch was?

Danke
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Musti
Sei



Du meinst .


Du fangst in der falschen Richtung an und benenne bitte die Mengen smile .
Sei also und mit und beliebig.
Da surjektiv ist, gibt es so, dass .
Da aber gibt es so, dass . Das heisst also .

Man braucht nichtmal die Surjektivität von , denn man muss sowieso haben um die Komposition erklären zu können.


Edit:
Bei Wikipedia wird die Komposition wirklich anders definiert:
Man nimmt einfach zwei Abbildungen und und definiert punktweise .
Also nirgends die explizite Forderung danach, dass der Definitionsbereich von im Bildbereich von enthalten sein muss [im Gegensatz zur Formulierung hier].
Falls man die Wikipedia-Definition nutzt sollte man wirklich als surjektiv voraussetzen.
Die letzte Zeile ändert sich dann:
Da surjektiv ist, gibt es so, dass und damit wie verlangt.
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso wie bei deinem edit, hat mein Prof. die Komposition definiert.
Das heißt mein Beweis ist eigentlich korrekt oder?

Danke dir
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dein Beweis ist "eigentlich" korrekt, aber nur eigentlich. Denn es gehört auch dazu ihn richtig aufzuschreiben Augenzwinkern

Das Problem ist, dass du mit anfangst.
Du musst mit einem anfangen und weil surjektiv ist, kannst du das gewünschte finden usw.
Du fängst aber mit einem an und betrachtest . Woher willst du aber garantieren, dass ist [also dein gewähltes ]? Das ist ja gerade das was du zeigen musst.
Das heisst "hangle" dich zurück:
Wähle ein beliebiges , dann gibt es ein passendes Urbild , da surjektiv ist. Nun erst kannst du dein gewünschtes finden [und das kann man garantiert immer finden, da surjektiv].
Musti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist einleuchtend.

Danke dir System-Agent
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