Differenzierung multivariater Funktion

19.09.2008, 20:41	Javier	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierung multivariater Funktion Ich habe zwei Produktionsfunktionen, die vom Typ her gleich sind (man könnte eine Art Cobb-Douglas-Funktion darin sehen ). Ich komme zu keiner "vernünftigen" Lösung. Hm. Ich glaube es bringt mehr Deutlichkeit, wenn ich die Funktionen einfach mal hinschreibe. Allerdings ist das mein persönlicher Ansatz zur Lösung eines von mir persönlich an mich gestellten Problems (also keine Übungs- oder Klausuraufgabe ... daher kann die Aufgabenstellung schon fehlerhaft sein ) "Ein Unternehmen produziert ein Endprodukt ( $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ ), wozu es genau ein Vorprodukt ( $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ ) benötigt. Die Produktionsfunktionen lauten $\begin{eqnarray} f_{i}(F_{i};A_{i}) = F_{i} \cdot C_{i} \cdot ( 0,5 + \frac {100} {A_{i}})^{-1} \end{eqnarray}$ für i = 1; 2. Wobei $\begin{eqnarray} C_{i} , i = 1;2 \end{eqnarray}$ produktabhängige Konstanten sind. $\begin{eqnarray} F_{i} \end{eqnarray}$ ist die Anzahl Maschinen, die das Produkt $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ erstellen (jede Maschine kann beide Produkte herstellen). $\begin{eqnarray} A_{i} \end{eqnarray}$ ist die Menge der Arbeiter die an einer einzelnen Maschine, die das Produkt x_i erstellt, arbeiten. Die Summe der Maschinen entspricht F, die gesamte Arbeiterzahl beträgt A. Das Unternehmen möchte die Ausbringungsmenge des Endprodukts maximieren, wobei alle Maschinen und alle Arbeiter eingesetzt werden sollen." So ungefähr würde wohl eine dazugehörige Aufgabe formuliert sein. Wenn die Aufgabe schon falsch ist, bitte sagen. Ich vermute ich übersehe etwas sehr Wichtiges. Und nein, ich bin weder Prof noch Lehrer. Ich bin ein einfacher Student, der sich etwas mehr Gedanken als nötig macht . Also. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} f_{i}(F_{i};A_{i}) = F_{i} \cdot C_{i} \cdot ( 0,5 + \frac {100} {A_{i}})^{-1} \end{eqnarray}$ für i = 1; 2 wobei $\begin{eqnarray} F_{2}=F - F_{1} \end{eqnarray}$ gilt und $\begin{eqnarray} A_{2}=\frac {A - F_{1} \cdot A_{1}} {F-F_{1}} \end{eqnarray}$ Soweit meine Restriktionen. Mein Ansatz zur Lösung: Maximiere f_1 unter der Nebenbedingung, dass f_1 - f_2 = 0. Allerdings glaube ich gerade im Moment, dass genau hier im Lagrangeansatz der Fehler liegt ... aber jetz hab ich schon so viel geschrieben, jetzt bleibt's auch stehen . $\begin{eqnarray} max f_{1}(F_{1}; A_{1}) + \lambda ( f_{1}(F_{1};A_{1}) - f_{2}(F-F_{1}; \frac {A - F_{1}A_{1}} {F-F_{1}}) \end{eqnarray}$ Also, ich habe die Bedingungen bereits eingesetzt. Nicht, dass sich jemand wundert. Ich tue mir bereits bei der Differentiation schwer, da sowohl F_2 als auch A_2 von F_1 bzw. A_1 abhängen. Wie würde das in allgemeiner Darstellungsweise ausgedrückt werden? (Ich mein' damit eine Darstellungsform der Ableitung von f_2 in folgender Art: " $\begin{eqnarray} \frac {\delta f_{1}} {\delta A_{1}} \end{eqnarray}$ " ... eben für f_2). Wäre die Ableitung der Lagrangefunktion nach F1 in folgender Form richtig? $\begin{eqnarray} \frac {\delta f_{1}}{\delta F_{1}} + \lambda (\frac {\delta f_{1}}{\delta F_{1}} - (\frac {\delta f_{2}}{\delta F_{2}} \cdot \frac {\delta F_{2}}{\delta F_{1}} + \frac {\delta f_2}{\delta A_{2}} \cdot \frac {\delta A_{2}}{\delta F_{1}}) \end{eqnarray}$ oder müsste ich gar die Quotientenregel anwenden? ... aber wie ... also allgemein ... mit Formelvariablen. Sry, dass es so lang geworden ist!!! Ich hoffe jemand hatte die Geduld und kann mir weiterhelfen. Vielen Dank schonmal.
19.09.2008, 23:51	Javier	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. nach "etwas" (1 Stunde ) Suche im Forum bin ich über "implizite Differentiation" gestolpert. Daher müsste eigentlich meine Ableitung stimmen. Nach 3 DIN A4 Seiten Hin-und-hergeschiebe der Variablen und Einsetzen bin ich auf $\begin{eqnarray} A_{1}=A_{2} \end{eqnarray}$ als Optimalitätsbedingung gekommen (das was ich eigentlich auch erwartet hatte). D.h. an allen Maschinen müssen gleich viele Arbeiter arbeiten. Genauer gesagt $\begin{eqnarray} A_{1}^ = A_{2}^* = \frac {A} {F} \end{eqnarray}$ D.h. Es kommt nur noch auf $\begin{eqnarray} F_{1} , F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ an. F und A sind ja (hier) konstant ==> nur noch F_1 entscheidend. Das Verhältnis zwischen F_1 und F_2 muss also dem Verhältnis von C_2 und C_1 entsprechen. Ergo ist $\begin{eqnarray} F_{1} = \frac {C_{2}}{C_{1}} \cdot F_{2} \end{eqnarray}$ optimal. Oder: $\begin{eqnarray} F_{1} = \frac { C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \cdot F \end{eqnarray*}$ . Also Danke ans Forum. Die indirekte Hilfe hat mir wirklich sehr geholfen.

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