Gauss Quadratur

20.09.2008, 00:48

tigerbine

Gauss Quadratur

Sucht man nach Integrationsformeln maximaler Ordnung, so stößt man auf die Gauss-Quadratur. Schon bei der Definition des Integrals, was durch das Prinzip "Summe aus Funktionswert an Knotenpunkten * Gewicht" stellt sich mir die Frage, warum man nun nicht mehr

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

betrachtet, sondern noch eine Gewichtsfunktion hinzufügt.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\gamma(x)f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Interessiert man sich doch (oder etwa nicht?) über eine Aussage bzgl. f. Kurz umrissen, wählt man bei diesen Verfahren die Knoten als Nullstellen von orthogonalen Polynomen und berechnet die entsprechenden Gewichte. Völlig unproblematisch ist das für den Fall der Legendre-Polynome, die zugehörige Gewichtsfunktion ist dort nämlich $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ und am Ende erhält man das gewünschte Integral der Funktion f.

Nimmt man die Tschebyscheff-Polynome, so sieht das schon schlechter aus. Da hat man:

$\begin{eqnarray*} \gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Zünachst mag man sich noch freuen, dass sich hier Knoten und Gewichte direkt berechnen lassen, und die Gewichte sogar alle gleich groß sind. Vergleicht man aber beide Verfahren, so haben sie beide die Ordnung 2n-1, d.h. für n=3 müßte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ exakt integriert werden.

Jedoch erhält man nur mit den Legendre Polynomen, das gewüschte Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}x^4~dx = 0.4 \end{eqnarray*}$

Denn im zweiten Fall, kommt ja die Gewichtsfunktion mit rein:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot x^4~dx = \frac{3\pi}{8} \end{eqnarray*}$

Beide Ergebnisse werden exakt geliefert, doch hat man sich (oder ich eben) ja eigentlich für das Integral von x^4 interessiert. Ok, mag man nun einwenden, dann nimm doch eine andere Funktion im zweiten Fall.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot (\sqrt{1-x^2}\cdot x^4)~dx \end{eqnarray*}$

Allerdings ist die nun zu integrierende Funktion in der Klammer kein Polynom mehr und wird auch nicht exakt integriert.

Nun könnte man auch sagen, ja wenn du x^4 exakt gewollt hättest, dann nimm eben die Legendre Polynome. Big Laugh

Eröffnen einem also die Gewichtsfunktionen die Möglichkeit, abweichend von der Funktionsklasse Polynom weitere Typen exakt zu Integrieren?

Gruß,
tgerbienb

20.09.2008, 11:45

Huggy

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RE: Gauss Quadratur

Zitat:

Original von tigerbine

Eröffnen einem also die Gewichtsfunktionen die Möglichkeit, abweichend von der Funktionsklasse Polynom weitere Typen exakt zu Integrieren?

Gruß,
tgerbienb

Genau so ist es! Wobei es weniger um die exakte Integration als um gute nummerische Näherungen geht.

Wenn man

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

integrieren will und f(x) ist in [a, b] gut durch ein Polynom approximierbar, dann ist die Gauß-Quadratur mit Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ angebracht. Andere Gewichtsfunktionen bringen dann schlechtere Näherungen.

Doch was ist, wenn f(x) nicht gut durch ein Polynom approximierbar ist? Schreibt man

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx=\int_{b}^{a}~\gamma(x)\cdot g(x)~dx \end{eqnarray*}$

und g(x) ist gut durch ein Polynom approximierbar, dann liefert die Gauß-Quadratur mit Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \gamma(x) \end{eqnarray*}$ eine gute Näherung. Die Näherung wird exakt, wenn g(x) ein Polynom ist, nicht aber wenn f(x) ein Polynom ist. Nur bei $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist das dasselbe.

20.09.2008, 12:00

tigerbine

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RE: Gauss Quadratur
Super, habt ihr das so in der Vorlesung/Übung gelernt? Diesen kleinen aber feinen Satz habe ich bei meinen Recherchen weder in einem Buch noch einen Skript gefunden. Freut mich ja, dass ich es wohl verstanden habe, aber zuviel Druckkosten wären durch ein Hinzufügen von Autoren Seite wohl nicht entstanden. Augenzwinkern

Habt ihr in diesem Zusammenhang Jacobi-Polynome behandelt? Wenn ja, hättest du einen Skriptteil dazu? In meinem Buch ist nur ein Verweis auf ein anderes Buch, was ich mir deswegen nun nicht kaufen möchte.

Vielleicht schaffe ich es am Wochenende den Workshop für das Board zum Thema numerische Integration fertigzustellen. Wenn du magst, kannst du ja mal drüber schauen?

OT:
hast du dir Octave installiert? Wink

20.09.2008, 13:51

Huggy

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RE: Gauss Quadratur
Meine Studienzeit liegt unendlich lange zurück und an eine Vorlesung über numerische Methoden kann ich mich nicht entsinnen. Da kann ich kaum helfen. Ich war halt immer neugierig, auch nach dem Studium. Wenn irgend etwas aufkam, bin ich immer gleich in die Bibliothek gerannt und habe das nachgelesen, bis ich das Prinzipielle verstanden hatte. In die Tiefe bin ich nicht gegangen, außer es gab einen wirklichen Anlass. So bin ich mehr Generalist als Spezialist. An die prinzipiellen Dinge habe ich auch meist eine gute Erinnerung.

Zu Octave habe ich mich erst mal nur kundig gemacht.

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