Probleme mit Funktion mit Bruch

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Blackie Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit Funktion mit Bruch
Hallo,

ich soll folgende Funktion vereinfachen und weiß leider nicht so recht wie ich das anstellen soll, da es ein langer Bruch ist und man ja durch Summen nicht kürzen darf! unglücklich

Die Funktion sieht folgendermaßen aus :

f(x) = (x^4-6x³+13x²-12x+4) : (x³-7x²+15x-9)

Also das ":" steht für den langen Bruchstrich

Nun weiß ich leider nicht womit ich erweitern, damit der Funktionsterm zu einem Produkt wird, also einem vereinfachtem Funktionsterm

Es wäre sehr nett wenn da jemand helfen könnte.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Funktion mit Bruch
Der Zähler erinnert mich verdammt stark an die binomische Formel:



und der Nenner?

verdammt stark an die binomische Formel:



lg kiki
 
 
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Funktion mit Bruch
hmmm

Tut mir leid.
Habe es immernoch nicht ganz verstanden.
Könnte Jemand den Term für mich ausschreiben?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst auch polynomdivision machen, um den ausdruck zu vereinfachen.
mfG 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Funktion mit Bruch
Zitat:
Original von kikira
Der Zähler erinnert mich verdammt stark an die binomische Formel:

wenn ich ehrlich bin, mich nicht verwirrt

@Blackie: versuchs doch mal mit Standardmethoden, hier der Linearfaktorzerlegung durch Raten von Nullstellen und Polynomdivision
Eine Nullstelle in Zähler und Nenner sieht man je gleich, wenn du im Zähler noch ein zweite findest (nach PD) sollte der Rest kein Problem mehr sein
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Funktion mit Bruch
Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Original von kikira
Der Zähler erinnert mich verdammt stark an die binomische Formel:

wenn ich ehrlich bin, mich nicht verwirrt


looool...trockener, britischer humor, lödi...hihi
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit Funktion mit Bruch
Ok. werde es ,mal versuchen.
Falls jemand trotzdem mal langeweile hat und mir einen Gefallen tun möchte, dann wäre ich sehr erfreut, einen Lösungsweg zu sehen, da ich nicht wirklich ein Mathe-Ass bin böse
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Tip ist versuchs mal mit Linearfaktoren raten und dann wie bereits erzählt mit Polynomdivision.
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Raten?

Also das ist irgendwie auch Falsch oder?

(x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4) : (x^3 - 7x^2 + 15x - 9) = x + 1
-(x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 9x)
———————————————
x^3 - 2x^2 - 3x + 4
-(x^3 - 7x^2 + 15x - 9)
————————————
5x^2 - 18x + 13 <-- Irgendwie kann ich halt an dem Punkt nicht weiterrechnen.
Kann mir einer sagen wie das geht?
Oder bin ich nun wieder ganz falsch davor?

Ich danke euch Freude
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Also...ich würde es so machen:
Nachdem der Zähler nicht umzuschreiben geht in (a + b)^4

würde ich nur mal für den Zähler die Lösungen finden, denn hast du alle Lösungen, dann könntest du den Zähler umschreiben in:

(x - 1. Lösung) * (x - 2. Lösung) * (x - 3. Lösung) * (x - 4. Lösung)

und das gleiche macht man dann für den Nenner.

Dann hast du lauter Multiplikationen und kannst kürzen.

lg kiki
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das denn auch so machen?
Denn ich habe nun den orginal Aufgabentext nochmal zugemailt bekommen und es heißt....


f(x) = (x^4-6x³+13x²-12x+4) : (x³-7x²+15x-9)


1 ) Schreibe Zähler und Nenner des obigen Funktionsterms als Produkt.
Gib einen vereinfachten Funktionsterm an.

2) Nullstellen + Asymptoten

3) Extrema

4) Wendestellen

5) Schaubild

Also zu 1) nochmal heißt das nun, dass ich es so machen soll wie von kikira beschrieben oder einfach :


f(x) = (x^4-6x³+13x²-12x+4) * (x³-7x²+15x-9)

Verstehe das irgendwie leider nichtunglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt schreiben wir das erstmal mit Latex:


Als erstes bestimmts du jeweils die Nullstellen von Zähler und Nenner und machst mit Hilfe der Polynomdivision eine Linearfaktorzerlegung.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

SO kannst du es schon mal gar nicht machen.

wenn du stehen hast: 5/4 ....dann kannst doch nicht einfach 5 * 4 draus machen.

das wär supi, da bräucht ich nur auf die Bank gehen und sagen, multiplizieren Sie meinen Kontostand mit 1 Million.


so...ich zeig dir das jetzt mal an einem anderen Beispiel:



Nun nimmst du den Zähler her.
Das ist eine Gleichung 3. Grades, bei der man nichts herausheben kann, also muss man Polynomdivision machen und folglich Lösung suchen gehen:

wenn man für x = 1 einsetzt, dann sieht man, dass dann 0 = 0 rauskommt.

also alles durch (x - 1) durchdividieren.

da kommt dann raus: x² - x - 2

Dafür nimmt man nun die p-q-Formel und löst weiter auf:

x2,3 = 1/2 +/- Wurzel aus [ 1/4 + 2]

x2 = 2
x3 = -1

das heißt, statt dem Ausgangszähler kann man nun eine Multiplikation hinschreiben:

(x - 2) * (x + 1) * (x - 1)

Und das machst beim Nenner genauso und dann siehst du, ob du Klammer gegen Klammer kürzen kannst.

lg kiki
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das nun gemacht und bei dem Zähler 2 als Nullstelle und im Nenner 3, aber wie soll ich damit noch eine Kurvendiskussion machen?

(x - 1) * (x - 2)
_____________

(x - 1) * (x - 3)


Ist das überhaupt so richtig?
Habe das mit der Polynomdivision gemacht...also Zähler und Nenner duch (x-1) geteilt
Zitat:
wenn man für x = 1 einsetzt, dann sieht man, dass dann 0 = 0 rauskommt.



Also für den Zähler

x^2-4x+4 herausbekommen und in die PQ-Formel eingesetzt -> 2

Für den Nenner

x^2-6x+9 herausbekommen und in die PQ Formel eingesetzt -> 3


Kann mir da jemand nun weiterhelfen oder sagen ob ich das so richtig gemacht habe?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
Hab das nun gemacht und bei dem Zähler 2 als Nullstelle und im Nenner 3, aber wie soll ich damit noch eine Kurvendiskussion machen?

(x - 1) * (x - 2)
_____________

(x - 1) * (x - 3)



haben wir da beim aufschreiben etwas "unterschlagen", oder soll das die schon gekürzte form darstellen?
falls ja, dann ist es leider nicht richtig!

bedenke: wenn zb. x=1 eine doppelte nullstelle darstellt:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
Also für den Zähler

x^2-4x+4 herausbekommen und in die PQ-Formel eingesetzt -> 2

Für den Nenner

x^2-6x+9 herausbekommen und in die PQ Formel eingesetzt -> 3

Das ist nur die halbe Miete. Die Bestimmung der Nullstellen ist nur das Vehikel, um zu einer Linearfaktorzerlegung zu kommen. Mit den erhaltenen Linearfaktoren mußt du das Polynom wieder zusammenbauen. Also:
Zähler = Linearfaktor1 * Linearfaktor2 * Linearfaktor3 * Linearfaktor4
und
Nenner = Linearfaktor1 * Linearfaktor2 * Linearfaktor3

Dieses Ergebnis solltest du erstmal hinschreiben und dann sehen wir weiter.
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es nur so gemacht wie kikira es beschrieben hat.
Irgendwie fehlt mir nun der Durchblick! unglücklich
Habe halt einfach wie gesagt wurde die erste Nullstelle geraten, also x=1...

Und dann Zähler und Nenner durch (x-1) dividiert :

(x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4) : (x - 1) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4
x^4 - x^3
————————————————————————————————
- 5x^3 + 13x^2 - 12x + 4
- 5x^3 + 5x^2
———————————————————————————
8x^2 - 12x + 4
8x^2 - 8x
————————————————
- 4x + 4
- 4x + 4
—————————
0

Und dann nocheinmal, damit eine quadratische Gleichung herauskommt :

(x^3 - 5x^2 + 8x - 4) : (x - 1) = x^2 - 4x + 4
x^3 - x^2
——————————————————————
- 4x^2 + 8x - 4
- 4x^2 + 4x
—————————————————
4x - 4
4x - 4
———————
0

Und bei dem Nenner das gleiche, aber nur einmal :

(x^3 - 7x^2 + 15x - 9) : (x - 1) = x^2 - 6x + 9
x^3 - x^2
———————————————————————
- 6x^2 + 15x - 9
- 6x^2 + 6x
——————————————————
9x - 9
9x - 9
———————
0

Hat das also etwas mit der Anzahl zu tun wie oft man diese Division durchführt?

Denn sonst habe ich ja wieder :

Nenner : (x-1) * (x-2)

Nenner : (x-1) * (x-3)

Ist das nun verständlicher?
Kann mir das nun einer erklären, was noch fehlt und was ich noch machen muss?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungen deines Zählers sind:

x1 = 1
x2 = 1 ...und sowas nennt man Doppellösung

x3= +2
x4= +2

daher kann man nun den Zähler umschreiben in:

(x - 1) * (x - 1) * (x - 2) * (x - 2)

Du darfst ja nix verändern, sondern bloß UMFORMEN..und nun hat man all diese Plus und Minusausdrücke in eine Multiplikation verwandelt (= Linearfaktorenzerlegung)
und der Zweck des Ganzen ist:

- dass man aus einer Multiplikation kürzen kann.

Multiplizier doch mal diesen Klammerausdruck zurück und du wirst sehen, dass du exakt wieder den Zählerausdruck erhältst.
Man hat also nichts verändert, sondern bloß in einer anderen Art und Weise das gleiche aufgeschrieben.

Und das machst nun mit dem Nenner auch so und dann schaust du, welche Klammer du gegen welche kürzen kannst.
Dann hast du einen vereinfachte Funktion.

lg kiki
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für die ausführliche Hilfe Freude

Würde noch gerne wissen woran man das erkennt ob es sich um eine Doppellösung oder nicht handelt :
Zitat:
x1 = 1
x2 = 1 ...und sowas nennt man Doppellösung


Liebe Grüße

Der Blackie
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen dein Polynom hat beispielsweise die Lösung x=1, dann dividierst du erstmal durch (x-1). Wenn das daraus sich ergebende Polynom bei x=1 immer noch Null ist, dann kannst du wieder durch (x-1) dividieren und du hast da eine doppelte Nullstelle. Usw., usw.
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke! Augenzwinkern

Bei dem Nenner muss dann nun (x-1) * (x-3) * (x-3) herauskommen, damit das passt, aber dort mache ich die Polynomdivision ja nur einmal und benutze dann die PQ-Formel um das x=3 rauszubekommen, dann heißt das also sobald man bei der PQ-Formel nur eine Lösung hat, dass es auch eine sogenannte Doppellösung ist?
Oder ist das nicht immer der Fall bei der PQ-Formel?

lg Blackie
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...ja

wenn du pq-Formel anwendest bei:

x² + px + q = 0

besser gesagt:

sobald der Ausdruck unter der Wurzel 0 wird - dann hast du eine Doppelnullstelle.

weil dann spalten sich die Ergebnisse so auf:

x1 = 2 + 0

x2 = 2 - 0

und beide Male kommt dann eben dasselbe heraus, was in Wirklichkeit eh nur eine einzige Lösung ist, aber wenn du zurückführen willst, wie die ursprüngliche Gleichung gelautet hat, dann musst du (x - 1. Lösung) * (x - 2. Lösung) rechnen, sonst würdest ja nie wieder auf eine Gleichung 2. Grades kommen, von der du aber ausgegangen bist.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
heißt das also sobald man bei der PQ-Formel nur eine Lösung hat, dass es auch eine sogenannte Doppellösung ist?

Genau! Freude Anders gesagt: wenn bei einer quadratischen Gleichung die pq-Formel nur eine Lösung liefert, dann steckt hinter dem quadratischen Ausdruck eine binomische Formel. Rein formal könntest du auch wieder Polynomdivision machen. Aber das schenkt man sich, denn man weiß:
Hat der quadratische Ausdruck zwei Nullstellen, dann läßt er sich faktorisieren in (x - x1) * (x - x2). Hat er genau eine Nullstelle, dann läßt er sich faktorisieren in (x - x1)².

Jetzt kannst du das ganze zusammenstöpseln und gleiche Faktoren aus Zähler und Nenner rauskürzen.
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre ja nun das vereinfachte:

(x-1) * (x-1) * (x-2) * (x-2)
______________________

(x-1) * (x-3) * (x-3)

und dann kann man einmal das (x-1) wegkürzen, sodass

(x-1) * (x-2)^2
____________

(x-3)^2

entsteht.....aber wie sollen dann die erste und zweite Ableitung für die Kurvendiskussion aussehen?

Hab das noch nie mit einem Bruch machen müssen....oder ich hab da nich aufgepasst verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir wirklich mal Latex angewöhnen.

Wir haben jetzt also:


Die Ableitung geht mit Quotientenregel. Das solltest du mal bei dir nachschauen. Augenzwinkern
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte man kann die Quotientenregel nur benutzen, wenn zwei Funtionen, also f(x) und g(x), gegeben sind.
Hab ich mich wohl geirrt oder auf der falschen Seite für Ableitungen geguckt.Tut mir leid....

Ist aber trotzdem Konpliziert...
Ist das im Nenner nicht eine Binomische formel?
Und im Zähler die Produktregel oder nich?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
Ist aber trotzdem Konpliziert...

Da mußt du dich halt durchbeißen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Blackie
Ist das im Nenner nicht eine Binomische formel?

Logisch. Von dort kamen wir ja. Ich würde das trotzdem als Klammer stehen lassen.

Zitat:
Original von Blackie
Und im Zähler die Produktregel oder nich?

Genau! Freude
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Als allererstes würd ich nun Definitionsmenge machen, damit man bei der Zeichnung nicht drüberstolpert.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
Dachte man kann die Quotientenregel nur benutzen, wenn zwei Funtionen, also f(x) und g(x), gegeben sind.


Hast du hier doch auch.




mit und




Gruß, mercany
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp, aber wenn man zwei Funktionen hat, darf man da dann kürzen?Weil man ja nur kürzen darf, wenn diese zusammen gehören...

Also wenn ich nun mit der Definitionmenge angefangen habe.
Was soll ich denn als nächstes machen?

Erst Produktregel oder Quotientenregel oder was ganz anderes?

lg Blackie
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Kürzen darf man immer. Natürlich nur nach den gültigen Regeln. Augenzwinkern

mercany hat doch schon geschrieben, mit welchen Funktionen der Bruch dargestellt wird. Jetzt fleißig die Quotientenregel anwenden, wobei beim Zähler noch die Produktregel angewendet werden muß. Am besten bildest du erstmal g'(x) und h'(x) und schreibst die hin.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blackie
Danke für den Tipp, aber wenn man zwei Funktionen hat, darf man da dann kürzen?Weil man ja nur kürzen darf, wenn diese zusammen gehören...


Was da steht ist Quatsch!
Keine Ahnung was du meinst, aber formulier es nochmal präziser.

Du Arbeitest dich hier von Außen nach Innen durch.
Zu allererst wendest du auf die Funktion , welche aus den Quotienten und besteht, die Quotientenregel an. Dabei lässt sich mit der Produktregel und Kettenregel sowie mit der Kettenregel differenzieren.



Gruß, mercany
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Ich freue mich, dass mercany diese Signatur hat "Dummheiten sind nie überflüssig", denn mir fällt wieder eine ungereimtheit auf unglücklich

Probiere nun mal Latex :

nach der 2. binomischen Formel

Nun wird es auf der linken Seite Null, wenn x=3 ist und auf der lechten Seite, wenn x=-3 ist.

Aber was ist denn nun richtig, denn wenn ich nun x=-3 auf der linken Seite einsätze kommt ja 36 statt Null raus..., obwohl nach Binomi beides gleich sein soll...

Ist ja wichtig für die Definitionsmenge, ob ich da nun x € R/{-3} oder x € R/{3} angebe?!?!?

Ich mache wirklich 3 Kreuze wenn ich das fertig habe unglücklich
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

(x - 3)² = x² - 6x + 9

(x + 3)² = x² + 6x + 9

lg kiki
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist diese Definitionsmenge richtig oder fehlt da noch was?

x € R/{3}
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Die binomischen Formel sind doch nur zum schneller Rechnen da.
Du könntest genauso sie langsam ausmultiplizieren:

a² = a * a
(Kasperl + Melchior)² = (Kasperl + Melchior) * (Kasperl + Melchior)

(x - 3)² = (x - 3) * (x - 3) = x² - 3x - 3x + 9 = x² - 6x + 9

(a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²


So...ich erklär dir nun das Differenzieren:

Man darf nicht drauf los ableiten, sobald steht:

1. x im Nenner (in den Zähler bringen mit negativer Hochzahl)
2. x unter der Wurzel (umschreiben in gebrochene Hochzahl)

3. x in einer Klammer und die Klammer hat eine andere Hochzahl als 1 >>> Kettenregel

z.b.
f(x) = (5 - x²)³

f'(x) = Hochzahl nach vor multiplizieren * (Klammer abschreiben) dann Hochzahl minus 1, dann mal der abgeleiteten Klammer

f'(x) = 3 * (5 - x²)² * (-2x)


4. x * x >> Produktregel

z.b.
f(x) = 7x * (x² - 3x + 8)

Das, was links vom Malzeichen steht ist u
Das, was rechts davon steht, ist v

Und abgeleitet hat man, sobald man in diese Formel einsetzt:

v * u' + u * v'

f'(x) = 7 * (x² - 3x + 8) + 7x * (2x - 3)

dann weiter vereinfachen und fertig!

5. x / x >> Quotientenregel

Der Zähler = u
Der Nenner = v

und sobald du in diese Formel einsetzt, hast du abgeleitet:



z.b.



extra u' und v' herausschreiben:

u' = 3 * (7 - x²)² (-2x)
weiter vereinfachen, bis das einfachste Ergebnis da steht.

v' = 4

Und nun in die Quotientenregel einsetzen und vereinfachen

lg kiki
Blackie Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aufgabe treibt mich leider in den Wahnsinn...
Ich rechne und rechne und es kommt nie etwas sinnvolles heraus traurig

Habs mit der Ableitung versucht und folgendes gemacht :

Produktregel für den Zähler :

u = (x-1) u' = 1

v = (x-2)² v' = 2x+4 <- "Mit der Kettenregel ausgerechnet"

Dann besagt die Produkregel :



Und wenn man das wiederrum alles ausrechnet kommt man auf



Dann habe ich mir den Nenner vorgenommen :



Kettenregel :

also

Und bei der Quotientenregel kommt man dann auf :

u = (x-1) * (x-2)² u'= 3x²-10x+8

v = (x-3)² v' = 2x-6

Wenn ich dann...



...rechnen will bekomme ich ja nur eine Zahl heraus und keinen Funktionsterm unglücklich

Also
und daraus wird im Endeffekt nur eine Zahl


Kann mir jemand sagen wo da der Fehler liegt, denn ohne eine Fkt. kann ich doch keine Extrema ausrechnen.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Hääääääää?
wo wird im Endeffekt nur eine Zahl???????

was meinst du damit?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Du solltest dir wirklich mal Latex angewöhnen.

Wir haben jetzt also:


Die Ableitung geht mit Quotientenregel. Das solltest du mal bei dir nachschauen. Augenzwinkern


Der Zähler ist u
Der Nenner ist v

Die Quotientenregel geht: [vu' - uv']/v²

u' = (x - 2)² + (x - 1) * 2 * (x - 2)


weiter vereinfachen: da sind 2 Ausdrücke - mit plus verbunden , in beiden ist (x - 2) enthalten. Also kann man das herausheben:

u' = (x - 2) * [ 1 + 2x - 2]
u' = (x - 2) * [2x - 1]

v' = 2 * (x - 3)

Nun in die Quotientenregel einsetzen:

f'(x) = riesengroßer Bruchstrich:

im Zähler steht: (x - 3)² * (x - 2) * [2x - 1] - [ (x - 1) * (x - 2)² * 2 * (x - 3)

und im Nenner steht:

(x - 3)^4


im zähler hat man 2 Ausdrücke, die mit Minus verbunden sind. In beiden kommt (x - 3) und (x - 2) vor und das heb ich nun heraus und kürze was geht mit dem Nenner.

und wenn man das dann weiter vereinfacht kommt man auf:

f'(x) = [(x - 2) * (-x -1) ] / (x - 3)³

Wichtig ist, dass man nicht alles gleich ausmultipliziert, denn dann kann man ja nicht mehr kürzen, außerdem hilft herausheben dabei, dass man schneller und einfacher rechnen kann und natürlich auch kürzen kann, wenn geht.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
u' = (x - 2)² + (x - 1) * 2 * (x - 2)
...
u' = (x - 2) * [ 1 + 2x - 2]

Die 1. Zeile ist richtig, die 2. Zeile leider falsch.

@Blackie: deine ABleitungen sind richtig. Laß am besten Klammerausdrücke als solche stehen. Faktoren vor der Klammer stehen lassen, nicht in die Klammer reinmultiplizieren. Dann alles gemäß Quotientenregel auf einen Bruch schreiben. Dann schauen, was sich kürzen läßt.
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