Impliziertes Ableiten

20.09.2008, 12:56	Micha001	Auf diesen Beitrag antworten »
Impliziertes Ableiten ich hab das thema grade neu und versuche mir das grade bei zubringen. Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} x-y+3xy=2 \end{eqnarray}$ Das erst mal umgestellt ergibt glaub ich: $\begin{eqnarray} \frac{1+3y}{1-3x} \end{eqnarray}$ Aber dann komm ich nicht weiter.. Ich hab die Lösung im Buch stehen, dass es $\begin{eqnarray} \frac{-5}{(1-3x)²} \end{eqnarray}$ sein soll. Ich denke auch, dass ich mit der Quotientenregel arbeiten muss, weil es ja ein Bruch ist und in der Lösung ja auch im Nenner (1-3x)² ist. Aber ich komm nicht auf das Ergebnis. Mein erster Schritt ist wahrscheinlich schon falsch. Der Sieht so aus: $\begin{eqnarray} \frac{3(1+3y)-(1-3x)(-3)}{(1-3x)²} \end{eqnarray}$ Aber wie soll denn jemals das x oder y oben aus dem Zähler verschwinden, sodass am Ende nur noch 5 da steht?
20.09.2008, 13:12	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Also mit impliziten Funktionen kenn ich mich nicht so wirklich aus, aber auf das Ergebnis aus dem Buch kommst du, wenn du die Ausgangsgleichung nach y umstellst und dann nach x ableitest. Vielleicht hilft dir das ja schon weiter.
20.09.2008, 13:17	Micha001	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie löse ich das denn nach y auf. Muss ich da erweitern, oder wie mach ich das?
20.09.2008, 13:20	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, nur y ausklammern. Dann kommst du auf $\begin{eqnarray} x+y(-1+3x)=2 \end{eqnarray}$ und das dann umstellen.
20.09.2008, 13:29	Micha001	Auf diesen Beitrag antworten »
aber dann komm ich immer noch nicht drauf, sondern auf $\begin{eqnarray} \frac{2-x}{3x-1} \end{eqnarray}$
20.09.2008, 13:32	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
das jetzt noch ableiten.. ^^
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20.09.2008, 14:06	Micha001	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke hat funktioniert Aber kannst du vielleicht nochmal kurz erklären, wie du das x+y da ausgeklammert hast?
20.09.2008, 14:12	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht zwar nirgends, was eigentlich die Aufgabe ist, aber aus der Lösung kann man schließen, dass die Ableitung y'(x) gesucht ist. Die kann man natürlich bestimmen, indem man die Ausgangsgleichung nach y auflöst und dann die Ableitung bildet. Dieser Weg hat aber nichts mit implzitem Ableiten zu tun. Implizites Ableiten wäre, die Ausgangsgleichung so wie ist, nach x abzuleiten. Das ergibt: $\begin{eqnarray} 1-y'+3y+3xy'=0 \end{eqnarray}$ Das kann man nach y' auflösen und dann noch y aus der Ausgangsgleichung einsetzen. Ob dieser Weg hier einfacher ist, sei dahingestellt.
20.09.2008, 14:22	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, habe ich nur das y ausgeklammert: $\begin{eqnarray} x-y+3xy=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y(-1+3x)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{2-x}{3x-1} \end{eqnarray}$ In diesem einfach Beispiel kannst du also die implizite Funktion eindeutig in eine explizite überführen und dann einfach ableiten. Von daher hat es mit implizitem Ableiten im Endeffekt nicht viel zu tun ^^ Das geht dann irgendwie anders, aber da hört mein Halbwissen dann auf ^^ //edit: Fortsetzung, siehe Huggy

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