Faltung mit vollständiger Induktion

25.06.2006, 16:12	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung mit vollständiger Induktion hallo, hab wieder mal ein Beispiel mit dem ich alleine nicht zu recht komme: Seien $\begin{eqnarray} X_i , i=1,2,... \end{eqnarray}$ unabhängig und exponentialverteilt mit dem gleichen parameter $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ Berechnen Sie mittels Vollständiger Induktion die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} S_n=\sum_{i=1}^n~X_i \end{eqnarray}$ gut, da wir vorher schon die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ berchnen sollten, habe ich eigentlich schon meinen Induktionsanfang, er sieht so aus: $\begin{eqnarray} Y_1=X_1+X_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y_2=g(X_1,X_2) \end{eqnarray}$ # $\begin{eqnarray} g(x_1,x_2)=\begin{cases} y_1=x_1+x_2 \\x_2=y_2 \end {cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g^{-1}=h(y_1,y_2)=\begin{cases} x_1=y_1-y_2 \\y_2=x_2 \end {cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J=\frac{\delta(h_1,h_2)}{\delta(y_1,y_2)}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{Y_1}(y_1)=\int_{-\infty}^{\infty }~f_{x_1}(y_2)f_{x_2}(y_1-y_2)~dy_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{-\infty}^{\infty }~\betae^{-\beta x_2}\betae^{-\beta x_1}~dy_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x_2\leq 0 \\(1-e^{-\beta x_2})(\betae^{-\beta x_1}), & \mbox{für } x_2>0\end {cases} \end{eqnarray*}$ ist das richtig so? und wie mache ich mit der induktion weiter?

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