ungleichungen lösen/faktoriseiren, def. bereich

20.09.2008, 16:53

georgy

ungleichungen lösen/faktoriseiren, def. bereich

Hallo!
Ich hoffe mir kann jemand bei folgendem Mathematischen Problem helfen.

Die aufgabe ist, alle x zu ermitteln und die ungleichung so weit wie möglich zu vereinfachen. Ausserdem soll ich noch den definitionsbereich oder so mit angeben.

aufgabe: -x^7+x^5 (größergleich) 0

muss ich hier faktorisieren? und wenn ja, wie?

ähnliche probleme stellen sich mir bei der aufgabe:

-2|x|+1 (kleinergleich)x

muss ich nullstellen angeben?

Hilfe

ich bin schon eine weile aus der schule raus und muss mich aber jetzt wieder mit mathematik ausseinandersetzten. ich bitte euch also "einfach" zu argumentieren, damit ich den lösungsweg verstehen kann :-)

vielen dank

20.09.2008, 17:37

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von georgy

aufgabe: -x^7+x^5 (größergleich) 0

muss ich hier faktorisieren? und wenn ja, wie?

Ja, Du musst faktorisieren, und zwar kannst Du x^5 ausklammern. Denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} -x^7 = -\underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }_{\textrm{7 Faktoren}} = -x^5 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von georgy

-2|x|+1 (kleinergleich)x

muss ich nullstellen angeben?

Nein, die Ungleichung lösen. Augenzwinkern

Bei Beträgen macht man normalerweise eine Fallunterscheidung:

Für x größer/gleich 0 gilt

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot |x| + 1 = -2 \cdot x + 1 \end{eqnarray*}$

Für x kleiner 0 gilt:

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot |x| + 1 = -2 \cdot (-x) + 1 \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 18:25

georgy

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ungleichungen lösen/faktoriseiren, def. bereich
okay, vielen dank schonmal für die antwort.

also wenn ich bei

$\begin{eqnarray*} - x^{7} + x^{5} \geq 0 \end{eqnarray*}$

die x^5 ausklammere, steht bei mir sowas wie

$\begin{eqnarray*} x^{5} * ( x^{2} - 1 ) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

soweit so gut, aber wie gehe ich weiter vor?

und wegen der 2. aufgabe:

löse ich die ungleichung jetzt 2 mal, als einmal für den fall x größer/gleich 0 und einmal für den fall x kleiner 0?

dann würde ich auf folgendes kommen:

für x größer/gleich 0:

$\begin{eqnarray*} - 2x+ 1\leq x|- x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - 3x+ 1\leq 0|+ 3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq 3x|:3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq 0.3(periode) \end{eqnarray*}$

analog würde für den fall x kleiner 0 rauskommen: x kleiner/gleich -1

sorry aber des check ich ned Hammer

. is doch nen wiederspruch....

danke im voraus :-)

20.09.2008, 19:17

kikira

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RE: ungleichungen lösen/faktoriseiren, def. bereich
Bei deiner 1. Ungleichung hast du falsch herausgehoben:

x^5 * ( - x² + 1) >= 0

x^5 * ( 1 - x²) >= 0

x^5 * ( 1 - x) * ( 1 + x) >= 0

Und nun musst du Fallunterscheidung machen.

Wann kommt bei a *b * eine Zahl heraus, die größer 0, also eine positive Zahl ist?
- Wenn 1) a größer gleich 0 und b größer gleich 0 waren
oder 2) wenn a kleiner gleich 0 und b kleiner gleich 0 waren.
Also Fallunterscheidung.

Und bei 2. musst du auch eine Fallunterscheidung machen.
1) wenn x>0 und
2) wenn x<0

lg, kiki

20.09.2008, 19:24

Jacques

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RE: ungleichungen lösen/faktoriseiren, def. bereich

Zitat:

Original von georgy

okay, vielen dank schonmal für die antwort.

also wenn ich bei

$\begin{eqnarray*} - x^{7} + x^{5} \geq 0 \end{eqnarray*}$

die x^5 ausklammere, steht bei mir sowas wie

$\begin{eqnarray*} x^{5} * ( x^{2} - 1 ) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

soweit so gut, aber wie gehe ich weiter vor?

Beim Ausklammern ist irgendwas schief gegangen.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \end{eqnarray*}$

Am Ende hast Du eine Ungleichung der Art

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich würde dann wieder eine Fallunterscheidung machen: a * b = 0 und a * b > 0. Und am Ende die Lösungen vereinigen.

Ansonsten müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \geq 0 \ \Longleftrightarrow\ (a \geq 0 \ \wedge\ b \leq 0)\ \vee\ (a \leq 0 \ \wedge\ b \geq 0) \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Aufgabe sind Deine Lösungen genau richtig. Warum sollte es ein Widerspruch sein, wenn unterschiedliche Ergebnisse herauskommen, je nachdem, ob x nichtnegativ oder negativ ist? Setze doch mal konkrete Zahlen ein, dann kannst Du das Ergebnis überprüfen.

// immer zu spät unglücklich

20.09.2008, 19:39

georgy

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hm also wie genau geht ihr den beim herausheben vor?
oder seht ihr gleich was man ausklammern muss?

20.09.2008, 19:44

Jacques

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Man kann den Term zuerst umschreiben, dann wird es einfacher:

$\begin{eqnarray*} -x^7+x^5 = x^5 - x^7 = 1 \cdot x^5 - x^2 \cdot x^5 = x^5 \cdot \left(1 - x^2 \right) \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 21:02

georgy

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ok also durch meinen tr weiß ich jetzt, das die funktion von $\begin{eqnarray*} - x^{7} + x^{5} \geq 0 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x^{5} \cdot (1-x^{2} )\geq 0 \end{eqnarray*}$
bei -1 und 1 nullstellen hat. rechne ich das nach (setze ich x=1/-1) ein, dann stimmt das schonmal, d.h ich bekomme für y=0 heraus. ist das jetzt die lösung? also was muss denn jetzt am ende dastehen? ist der definitionsbereich von x jetzt [-1; $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [?

bitte entschuldigt meine fragen, ich hioffe ich nerve euch nicht mit dem urschleim um den es hier geht smile

20.09.2008, 21:18

Jacques

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Hm, das mit dem Definitionsbereich verstehe ich nicht. Die Ungleichung ist doch für alle reellen Zahlen definiert, es gibt keine Einschränkung.

Aber man kann natürlich die Lösungsmenge angeben, das soll man wahrscheinlich tun.

Mein Ansatz, den ich oben beschrieben habe, wäre der Folgende:

Löse zuerst die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^5 \left(1 - x^2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

und anschließend die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x^5 \left( 1 - x^2 \right) > 0 \end{eqnarray*}$

und vereinige die beiden Lösungsmengen. Damit erhältst Du die Lösungsmenge von

$\begin{eqnarray*} x^5 \left( 1 - x^2 \right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Für die Ungleichung nutze folgende Äquivalenz:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b > 0 \ \Longleftrightarrow\ (a > 0 \ \wedge\ b > 0)\ \vee\ (a < 0\ \wedge\ b < 0) \end{eqnarray*}$

Es geht sicher auch schneller, aber ich bin mir nicht sicher, ob die Aussageformen

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \geq 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (a \geq 0 \ \wedge\ b \geq 0)\ \vee\ (a \leq 0 \ \wedge\ b\leq 0) \end{eqnarray*}$

gleichwertig sind. Deswegen das umständliche Aufteilen der Ungleichung.

------------------------

Ein Alternativansatz:

Berechne die Nullstellen (hast Du getan, es fehlt allerdings noch 0), lasse Dir den Graphen zum linken Term zeichnen und suche dann die Intervalle heraus, bei denen der Graph oberhalb oder auf der x-Achse verläuft.

21.09.2008, 19:50

georgy

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also ich trete irgentwie auf der stelle. wie löse ich denn eine gleichung der form x^5 (1-x²)=0 ? plz help!

und bei der zweiten: ich habe nun also rausbekommen das x (für den fall das x < 0) <=-1 ist und (für den fall das x>=0) x>=0,333......
was ist den nun die lösungsmenge? verwirrt

danke

21.09.2008, 20:00

Jacques

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Zitat:

Original von georgy

wie löse ich denn eine gleichung der form x^5 (1-x²)=0 ? plz help!

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist!

Zitat:

Original von georgy

und bei der zweiten: ich habe nun also rausbekommen das x (für den fall das x < 0) <=-1 ist und (für den fall das x>=0) x>=0,333......
was ist den nun die lösungsmenge? verwirrt

Versuche mal, etwas präziser zu formulieren:

Schränkt man die Grundmenge ein auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Ungleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x \geq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Schränkt man sie ein auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{< 0} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Ungleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$

Es gibt also unterschiedliche Lösungsmengen, je nachdem, welchen Fall man gerade betrachtet.

21.09.2008, 20:16

georgy

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Zitat:

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist!

okay, also wenn ich bei der betrachteten gleichung 1bzw. -1 einsetze, komme ich auf 0

21.09.2008, 20:19

Jacques

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Ja, aber nicht nur. Wende doch mal den Satz an:

$\begin{eqnarray*} x^5 \cdot (1-x^2)=0 \ \Longleftrightarrow\ x^5 = 0\ \vee\ 1 - x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Und wenn Du die Gleichungen einzeln löst, kommst Du neben 1 und -1 auch noch auf die Lösung 0.

Fehlen noch die Lösungen der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x^5 \left( 1 - x^2 \right) > 0 \end{eqnarray*}$

21.09.2008, 20:27

TheWitch

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Zitat:

Original von Jacques
Es gibt also unterschiedliche Lösungsmengen, je nachdem, welchen Fall man gerade betrachtet.

Es gibt für die Gesamtgleichung natürlich nur eine Lösungsmenge. Die setzt sich zusammen aus den beiden Fällen:

1. $\begin{eqnarray*} x \geq \frac{1}{3}~\text{und}~x \geq 0 \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray*} x\geq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x \leq -1 ~\text{und}~x <0 \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray*} x\leq-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Gesamtlösungsmenge ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb L =\{ x \in \mathbb R | x\leq-1 ~\text{oder}~x \geq \frac{1}{3}\} \end{eqnarray*}$

21.09.2008, 20:40

TheWitch

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Zitat:

Original von Jacques
Ja, aber nicht nur. Wende doch mal den Satz an:

$\begin{eqnarray*} x^5 \cdot (1-x^2)=0 \ \Longleftrightarrow\ x^5 = 0\ \vee\ 1 - x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Und wenn Du die Gleichungen einzeln löst, kommst Du neben 1 und -1 auch noch auf die Lösung 0.

Fehlen noch die Lösungen der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x^5 \left( 1 - x^2 \right) > 0 \end{eqnarray*}$

Das ist nicht sonderlich zielführend, da es nicht trivial ist, aus den Nullstellen auf die Ungleichung zu schließen. Zunächst mal sollte man den linken Term faktorisieren (dabei können die Nullstellen hilfreich sein):
$\begin{eqnarray*} x^5(1 - x)(1 + x) > 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es zu überlegen, in welchen Fällen ein Produkt aus drei Faktoren positiv ist: Das ist genau dann der Fall, wenn alle drei Faktoren positiv sind (1) oder wenn zwei der Faktoren negativ sind und der dritte positiv ist (2), (3) und (4).

(1) $\begin{eqnarray*} x^5 > 0 \text~{und}~1-x>0 ~{und}~1+x>0 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} x^5 > 0 \text~{und}~1-x<0 ~{und}~1+x<0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} x^5 < 0 \text~{und}~1-x<0 ~{und}~1+x>0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} x^5 < 0 \text~{und}~1-x>0 ~{und}~1+x<0 \end{eqnarray*}$

Jetzt alle vier Fälle auflösen und geeignet zusammenfassen.

[Edit: Tippfehler jeweils im letzten Term korrigiert, dort stand fälschlicherweise ein Minus- statt eines Pluszeichens.]

21.09.2008, 20:58

georgy

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Zitat:

in wie fern können mir hier nullstellen behilfreich sein? und warum ist eigentlich x^5(1-x^2) das selbe wie x^5(1-x)(1+x)? wenn ich versuche seltzeres auszumultiplizieren , komme ich auf etwas anderes als x^5(1-x^2). könnt ihr mir diese umformung vielleicht nochmal im dtail erklären?

Zitat:

Jetzt alle vier Fälle auflösen und geeignet zusammenfassen.

okay,wie mache ich dies? vorzeichentabbelle eventuell?

ich weis ich bin zeitweilens etwas schwer von begriff, aber ich frage lieber alles nocheinmal genau nach, damit ich es endgültig verstehe smile

21.09.2008, 21:36

TheWitch

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Zunächst mal: Ich habe dort oben in den vier Gleichungen einen Tippfehler korrigiert; dort stand fälschlicherweise im letzten Term jeweils ein Minus- statt eines Pluszeichens.

Und: Ich bringe mal in den folgenden Zitaten die ersten beiden Sätze in eine andere Reihenfolge.

Zitat:

Original von georgy
und warum ist eigentlich x^5(1-x^2) das selbe wie x^5(1-x)(1+x)? wenn ich versuche seltzeres auszumultiplizieren , komme ich auf etwas anderes als x^5(1-x^2). könnt ihr mir diese umformung vielleicht nochmal im dtail erklären?

Das ist die dritte binomische Formel: $\begin{eqnarray*} 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \end{eqnarray*}$
Warum du da beim Ausmutiplizieren was anderes rauskriegst, kann ich so nicht beurteilen, dazu müsste ich sehen, was du machst.

Zitat:

Original von georgy
in wie fern können mir hier nullstellen behilfreich sein?

Angenommen, du hast eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen a und b, dann lässt sich die Gleichung immer schreiben als $\begin{eqnarray*} (x - a)(x - b) = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

okay,wie mache ich dies? vorzeichentabbelle eventuell?

Nein - stur auflösen. Ich mach das für den ersten Fall mal vor, die drei anderen schreibst du dann selber hier hin, ok?

(1) $\begin{eqnarray*} x^5 > 0 \text~{und}~1-x>0 ~{und}~1+x>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x > 0 \text~{und}~1>x ~{und}~x>-1 \end{eqnarray*}$

Schaust du dir das genau an, so stellst du fest: Dein x muss größer als 0 (erster Teil) und größer als -1 (dritter Teil) sein. Das gilt für alle Zahlen, die größer sind als -1 (die sind nämlich automatisch auch größer als 0.) Außerdem muss x aber kleiner als 1 sein (zweiter Teil von rechts nach links gelesen). Insgesamt heißt das, dass x größer als -1, aber kleiner als 1 sein muss, also: $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$

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