invarianter Hauptraum

26.06.2006, 15:49

Sunwater

invarianter Hauptraum

Hi...

ich hab folgende Aufgabe:

Sei K algebraisch abgeschlossen, V ein endl. dim. K-Vektorraum, f und g zwei kommutierende Endomorphismen von V.
Sei schließlich W der Hauptraum von f zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen: W ist g-invariant, also $\begin{eqnarray*} g(W) \subset W \end{eqnarray*}$

ich muss zu meiner Lösung eigentlich nur wissen:

wenn $\begin{eqnarray*} v \in W \end{eqnarray*}$ ein Element des Hauptraumes von f zu lambda ist, heißt dass dann, dass für v gilt: $\begin{eqnarray*} f^n(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ für eine natürliche Zahl n?

und wenn ich zwei kommutierende Endomorphismen wie oben habe, dann ist doch: $\begin{eqnarray*} f^n(g(v)) = f^{n-1}(f(g(v)) = f^{n-1}(g(f(v)) = ... = g(f^n(v)) \end{eqnarray*}$ oder?

danke schonmal

26.06.2006, 22:52

Abakus

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RE: invarianter Hauptraum

Zitat:

Original von Sunwater
ich muss zu meiner Lösung eigentlich nur wissen:

wenn $\begin{eqnarray*} v \in W \end{eqnarray*}$ ein Element des Hauptraumes von f zu lambda ist, heißt dass dann, dass für v gilt: $\begin{eqnarray*} f^n(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ für eine natürliche Zahl n?

Eher $\begin{eqnarray*} f^n(v) = \lambda^n v \end{eqnarray*}$ dann.

Zitat:

und wenn ich zwei kommutierende Endomorphismen wie oben habe, dann ist doch: $\begin{eqnarray*} f^n(g(v)) = f^{n-1}(f(g(v)) = f^{n-1}(g(f(v)) = ... = g(f^n(v)) \end{eqnarray*}$

Ja, das sollte gelten.

Grüße Abakus smile

27.06.2006, 10:07

Sunwater

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ja stimmt, das mit $\begin{eqnarray*} f^n(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ haut nicht hin...

also gehen wir einfach mal nur davon aus, was wir wissen:

sei $\begin{eqnarray*} v \in W \end{eqnarray*}$ es gilt also: $\begin{eqnarray*} (f - \lambda id)^n(v) = 0 \end{eqnarray*}$ für eine natürliche Zahl n.

das kann man auch so schreiben, nach Potenzgesetzen ( und wenn man bedenkt, dass die Verknüpfung mit einem Vielfachen der Identischen Abbildung kommutativ ist. )

$\begin{eqnarray*} \text{ für } \lambda \in W \text{ gilt: } \sum_{k=0}^n~ {n \choose k}(-1)^k \lambda^k f^{n-k}(v) = 0 \end{eqnarray*}$

dabei sei f immer noch die Abbildung und Lambda der Eigenwert, n die natürliche Zahl von oben.

jetzt muss ich zeigen, dass W g-invariant ist, also für v in W gilt:
$\begin{eqnarray*} g(v) \in W \end{eqnarray*}$

das lässt sich dann zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ {n \choose k}(-1)^k \lambda^k f^{n-k}(g(v)) = \sum_{k=0}^n~ {n \choose k}(-1)^k \lambda^k g(f^{n-k}(v)) = g \left( \sum_{k=0}^n~ {n \choose k}(-1)^k \lambda^k f^{n-k}(v) \right) = g(0) = 0 \end{eqnarray*}$

somit erfüllt g(v) die Bedinungen um in W zu liegen. fertig.

ich hoffe nur, dass man einfach so mit Abbildungen rechnen darf... - aber wenn man es in die Sprache der Matrizen überträgt, stimmt die Rechnung von oben, weil dort stehen nur kommutative Matrizen und skalare Faktoren und die kann ich beliebig vertauschen...

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