Aufleiten

26.06.2006, 18:03

m1dn16h7

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Aufleiten

Hallo,
ich habe zu Ableitungen Stammfunktionen gebildet, nur bereiten mir bestimmte aufgaben mit bestimmten muster probleme. hier eine beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=tx^{4}- \frac{1}{2} t^{2} *x^{2} \end{eqnarray*}$

am anfang: woher weiß ich wieviel mal 5 (beim aufleiten) t ergibt? somit habe ich auch probleme bei dieser aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^{4}+b x^{3} +cx \end{eqnarray*}$

wie mach ich das denn dann wenn dort variablen stehen?? denn ich weiß ja nicht was sich für eine zahl dahinter verbirgt..oder kann man da schreiben
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5} ax^{5}+\frac{1}{4}b x^{4} +\frac{1}{2}cx^{2} \end{eqnarray*}$ ?

___________
edit: wie kann ich denn herausbekommen was für ein bruch -0,13(periode) ist und so weiter? ich rechne das manchmal mit taschenrechner aus, zB wenn ich rausfinden möchte: wieviel mal 5 = 3 oder so. leider gibt der taschenrechner dann nur unendliche zahlen an, die ich gerne in einen bruch schreiben würde. was tun?

26.06.2006, 18:13

rain

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Ja deine letze Stammfunktion stimmt.
Das t bleibt einfach erhalten,es ist halt einfach nur eine Formvariable.

26.06.2006, 18:16

klarsoweit

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RE: Aufleiten
Ist doch richtig!
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5} ax^{5}+\frac{1}{4}b x^{4} +\frac{1}{2}cx^{2} \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^{4}+b x^{3} +cx \end{eqnarray*}$

Du bekommst noch mehr Stammfunktionen, wenn du noch eine Konstante dranhängst.

Übrigens heißt das "integrieren" und nicht "aufleiten"
Denn sind das Gegenteile?
abführen - aufführen
abmachen - aufmachen
abrechnen - aufrechnen

26.06.2006, 18:17

m1dn16h7

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ahso, gut dann hab ich für die t-aufgabe folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}t x^{5}- \frac{1}{6}t^{3} *\frac{1}{3} x^{3} \end{eqnarray*}$
(aufgabenstellugn siehe oben)

26.06.2006, 18:20

m1dn16h7

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zu dem aufleiten: bei uns im mathebuch steht wortwörtlich:

"F'(x)=f(x) entsteht durch Ableiten von F, F entsteht durch Aufleiten von f."
Dann kommt eine Beispielaufgabe und dort wird auch überall die Syntax verwendet. "Aufleiten ergibt..."

Das ist das Buch Bohner/Ihlenburg/Ott, Mathematik für berufliche Gymnasien. Steht dort wie gesagt so drin. Aber wenn es korrekter Integrieren heißt, verwende ich das das besser. Wenn dann mehr wissen was gemeint ist..

Vielen Dank für die Hilfe! Hab ich ja Glück gehabt, doch alles richtig!

Viele Grüße smile

smile

_______
edit: muss man beim 'integrieren' eignentlich irgendwelche regeln beachten? kettenregel, etc? was macht man bei sin (2x-4) (als beispiel)?

_______
edit2: oh nu kommen die richtigen kracher (für mich) Augenzwinkern

Augenzwinkern

frage: wie geht das??

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} x-\frac{3}{2} e^{x} \end{eqnarray*}$
(dieses e^x irritiert ich...)

$\begin{eqnarray*} f(x)=(t^{2} +1)*(\sin(x) -x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=e*e^{x} +e*x \end{eqnarray*}$

26.06.2006, 18:26

Lazarus

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Mich wundert, dass du deinen Fehler den du gerade Begangen hast nicht konsequent genug durchziehst.

Mit anderen Worten: am Anfang isses richtig und am ende isses falsch.
$\begin{eqnarray*} f(x)&=&tx^{4}- \frac{1}{2} t^{2} \cdot x^{2}\\F(x)&=&\int~tx^{4}- \frac{1}{2} t^{2} \cdot x^{2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

So, integrier mal bitte gliedweise und achte darauf dass du nach x integegrierst und nicht nach t!

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26.06.2006, 18:30

m1dn16h7

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5} tx^{5} -\frac{1}{2} t^{2}* \frac{1}{3} x^{3} \end{eqnarray*}$

??????

26.06.2006, 18:32

mercany

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Zitat:

Original von m1dn16h7
zu dem aufleiten: bei uns im mathebuch steht wortwörtlich:

"F'(x)=f(x) entsteht durch Ableiten von F, F entsteht durch Aufleiten von f."
Dann kommt eine Beispielaufgabe und dort wird auch überall die Syntax verwendet. "Aufleiten ergibt..."

Das ist das Buch Bohner/Ihlenburg/Ott, Mathematik für berufliche Gymnasien.

Schlimm, dass es schon soweit gekommen ist! unglücklich

unglücklich

Zu $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} x-\frac{3}{2} e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~(\frac{1}{3} x-\frac{3}{2} e^{x})~dx &=& \int~\frac{1}{3} x~dx - \int~\frac{3}{2} e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Das erste Integral ist sehr einfach und für das zweite nutzt du aus, dass $\begin{eqnarray*} \int~e^x~dx = e^x \end{eqnarray*}$ ist

Gruß, mercany

26.06.2006, 18:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von m1dn16h7
ahso, gut dann hab ich für die t-aufgabe folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}t x^{5}- \frac{1}{6}t^{3} *\frac{1}{3} x^{3} \end{eqnarray*}$

Wie Lazarus schon andeutet, hast du hier auch das t² integriert. Das ist aber unnötig bzw. falsch, da es als Konstante zu betrachten ist.

Zu dem anderen: was ist die Ableitung der e-Funktion?. Was ist dann umgekehrt eine Stammfunktion der e-Funktion?

EDIT: Ah ich sehe die Korrektur. Ist jetzt ok.

26.06.2006, 18:54

Lazarus

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Zitat:

Original von m1dn16h7

_______
edit: muss man beim 'integrieren' eignentlich irgendwelche regeln beachten? kettenregel, etc? was macht man bei sin (2x-4) (als beispiel)?

Es gibt in der Tat solche Regeln.
Schlagworte:
Partielle Integration, Integration durch Substitution

Ansonsten gilt die Faktoren und die Summenregel:

$\begin{eqnarray*} \int~k\cdot f(x)~\mathrm dx = k\cdot \int~f(x)~\mathrm dx = k\cdot F(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~f(x)+g(x)~\mathrm dx=\int~f(x)~\mathrm dx + \int~g(x)~\mathrm dx = F(x)+G(x) \end{eqnarray*}$

Beachte aber das gilt:

$\begin{eqnarray*} \int~g(x) \cdot f(x)~\mathrm dx \neq\int~g(x)~\mathrm dx \cdot \int~f(x)~\mathrm dx =F(x)\cdot G(x) \end{eqnarray*}$

26.06.2006, 20:30

m1dn16h7

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Zitat:

Es gibt in der Tat solche Regeln.
Schlagworte:
Partielle Integration, Integration durch Substitution

uhm.. gut das sagt mir jetzt nicht wirklich was.

ableitung von

e^x = e^x

oder?
____________
edit:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-\frac{5}{3} \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=x-\frac{5}{3} (-cos(x)) \end{eqnarray*}$

stimtm das? ich war mir wegen kettenregel nicht sicher. zwar würde bei sin (x) in der klammer eine 1 rauskommen, aber ich muss es ja verstehen.
____________
edit2:
hab ich das mit dem ableiten nach sonstwas richtig verstanden? wenn dort 'f(x)' steht, muss nach x integriert werden, würde 'f(t)' da stehen, dann nach t, oder? schon wieder folgende aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=t+t cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=t+t sin(x) \end{eqnarray*}$
ha, und??

gut, ich hab e noch ein paar gerechnet. ich hoffe sie sind richtig. vielleicht findet jmd einen fehler?!

d)
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3} e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{6} x^{2}-\frac{2}{3} e^{x} \end{eqnarray*}$

e)
$\begin{eqnarray*} f(x)=t*(e^{x}-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=t*(e^{x}-x) \end{eqnarray*}$

f)
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{18} tx^{3} -t*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{1}{72} tx^{4} -t*\sin(x) \end{eqnarray*}$

g)
$\begin{eqnarray*} f(x)=(t^{2}+1)*(\sin(x) -x)=t^{2}*-t*\sin(x)- tx^{3} +\sin(x) -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=t^{2}*(-cos(x))-\frac{1}{3} tx^{3}+cos(x)-\frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$

h)
$\begin{eqnarray*} f(x)=-4e^{x}-\frac{1}{2} x+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=-4e^{x}-\frac{1}{4} x^{2} +4x \end{eqnarray*}$

i)
$\begin{eqnarray*} f(x)=-(\frac{2}{3} e^{x}-3)=-\frac{2}{3} e^{x}+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{2}{3} e^{x}+3x \end{eqnarray*}$

j)
$\begin{eqnarray*} f(x)=e*e^{x}+e*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=e*e^{x}+e*\frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$

k)
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x}(1-e)=e^{x}-e*e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=e^{x}-e*e^{x} \end{eqnarray*}$

l)
$\begin{eqnarray*} f(x)=ae^{x}+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=ae^{x}+b \end{eqnarray*}$

26.06.2006, 21:03

m1dn16h7

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(ich hoffe das ist richtig, DANN hab ich es nämlich verstanden...)
______
noch ein problem: brüche! wie integriert man dort? mein beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2x^{2}} \end{eqnarray*}$

...und die stammfunktion der wurzel aus x kann ich auch nicht... unglücklich

unglücklich

keine ahnung... verwirrt

verwirrt

26.06.2006, 21:08

kikira

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du gehst das immer so an, als ob du differenzieren wolltest.
was du beim differenzieren machen würdest, musst auch beim integrieren machen.
beim ableiten müsstest du umformen und das x in den Zähler holen mit negativer Hochzahl.
und genauso machst es hier auch und dann integrieren.

lg kiki

edit:

da oben sind alle richtig, bis auf die Nummer g)
probier die noch einmal.

und dann noch was:

wenn x unter der Wurzel steht, dann musst du wie beim differenzieren die Wurzel umschreibn in eine gebrochene Hochzahl und dann kannst integrieren.

e^x integrieren:

z.b.

f(x) = 3 e^(4x)
F(x) = alles abschreiben und dann alles durch die abgeleitete Hochzahl vom e dividieren.
F(x) = [3e^(4x)] / 4

26.06.2006, 21:10

m1dn16h7

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hallo kiki,
ja das stimmt schon. nur umgekehrt eben. nur bei den etwas komplizierteren sachen binich mir nicht sicher. wie gesagt, wurzel aus x (gut, da würde ich nun noch x hoch einhalb schreiben..) aber bei so ineinander veschachtelten verliere ich den überblick. daher meine frage ob das oben richtig ist oder ich etwas 'übersehen' habe was ich von selbst nicht sehe... wenn das da oben richtig ist, habe ich es denk ich verstanden.

beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3*(e^{x-1}-x^{2}) \end{eqnarray*}$

hier weiß ich schon wieder nicht was ich mit dem e machen soll, da ja in der potenz noch eine -1 drin steht... unglücklich

unglücklich

26.06.2006, 21:17

kikira

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lies mal das edit meines oberen beitrags.
in weiser voraussicht (hihi) hab ich das mit e bereits erklärt.

lg kiki

26.06.2006, 21:23

m1dn16h7

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ahso das mit dem e leuchtet mir glaube ich ein. ich probiere es noch mal.

mein neuer vorschlag für g)
$\begin{eqnarray*} F(x)=t^{2}*(-cos(x))-t^{2}*\frac{1}{2} x^{2}-cos(x)-\frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$
______________________
edit:
diese aufgabe kann ich immer noch nicht lösen, da bruch:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2x^{2}} \end{eqnarray*}$

26.06.2006, 21:33

kikira

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Der Fehler liegt darin, dass du schon falsch ausmultipliziert hast.
aber das hättest auch gar nicht brauchen.

du musst nur überlegen, ob das, was mit deiner unbekannten multipliziert ist, eine zahl ist, denn die bleibt genauso stehen.

und bei dir steht nun:

(t² + 1) * (sinx - x)

(t² + 1) ist eine Zahl und bleibt genauso stehen beim integrieren und differenzieren, es wär so, als würd da die Zahl 3 stehen.

und bei:

3 * ( sinx - x) würde die 3 auch stehen bleiben beim Diff/Integr.

Jede Zahl, die mit MAL oder DIVIDIERT mit der Unbekannten verbunden ist, bleibt erhalten.

du brauchst also nur so zu tun, als würd da stehen:

sinx - x

lg kiki

26.06.2006, 21:37

m1dn16h7

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ok, das hab ich soweit schon mal verstanden. ich hoffe ich hab es auch richtig umgesetzt... o.O

meine lösung:
$\begin{eqnarray*} F(x)=(t^{2}+x)*(-cos (x)-\frac{1}{2}x^{2}) \end{eqnarray*}$

noch zu meinem edit: was mache ich mit bruchzahlen? edit siehe oben: dort ist ein beispiel, finde noch nicht einmal einen ansatz.. unglücklich

unglücklich

nebenbei: danke für deine unterstützung smile

smile

26.06.2006, 21:46

kikira

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wo kommt da in der rechten Klammer das -1/2 her?

sinx integriert ist -cosx

-x integriert ist -x²/2

zu deinem Bruch:
das hab ich doch auch schon erklärt.
sobald x im Nenner steht, darf man nicht ableiten/integrieren, sondern muss zuerst umformen, indem man das x mit negativer Hochzahl in den Zähler holt und DANN KANN MAN INTEGRIEREN UND DIFFERENZIEREN - was man eben möchte.

form das mal um bitte.

lg kiki

26.06.2006, 21:58

m1dn16h7

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oh, wo das 1/2 da so einfach ohne etwas hingerutscht ist weiß ich auch nicht, bzw. wo. und das x^2 fehlt da ja auch o.O das verbesser ich gleich mal! Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

_____________
edit:
ich würd das gern umformen, aber bei brüchen in hochzahlen schreiben fehlen mir die grundlagen. weiß überhaupt nicht wie ich das anstellen soll. mit dem minus. das muss ich für idioten erklärt haben. kann das überhaupt gar nicht unglücklich

unglücklich

ich weiß den rechenweg nicht.

26.06.2006, 23:01

kikira

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$\begin{eqnarray*} \frac{7}{\sqrt[4]{x^3}} = \frac{7}{x^{\frac{3}{4}}}= 7 * x^{-\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

und dann kannst ganz normal integrieren.
und daran siehst du gleich, wie man wurzel umformt.

lg kiki

26.06.2006, 23:02

m1dn16h7

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danke, das ist sehr anschaulich. habs verstanden smile

smile

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