Augmentierte Filtration/Black-Scholes

26.06.2006, 18:18

cauchy_n

Augmentierte Filtration/Black-Scholes

Hallo,
ich hoffe ich stelle meine Frage hier an der richtigen Stelle, also bei höhere Mathematik und nicht bei Stochastik rein.
Also ich habe folgende Verständnisfrage:
Man kann ja eine Filtration $\begin{eqnarray*} (F_{t})_{t\in I} \end{eqnarray*}$ durch P-Nullmengen erweitern (augmentieren).
Das Black-Scholes Modell besteht ja aus zwei Prozessen, einem für den Bondpreis (deterministisch), und einem für den Aktienkurs. Die dazugehörige Filtration ist die an den Aktienkurs adaptierte und augmentierte Filtration. Soweit alles klar, meine Frage ist: warum nehme ich die augmentierte Filtration? (würde die adaptierte nicht reichen ?)
Die einzige Antwort, die mir daruf einfällt ist, dass ich bei der Girsanovtransformation des W-Maßes ja die P-Nullmengen benötige um mein äquivalentes Martingalmaß zu definieren?

Vielen Dank und Gruß.

26.06.2006, 20:48

Dual Space

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Ich verschieb es trotzdem mal in die Stochastik. Augenzwinkern

*verschoben*

So nun zur Sache:

1. Eine sehr gute Frage (ich wünschte ich hätte sie damals mal meinem Prof gestellt). Augenzwinkern

2. Ich würde mal vermuten, dass es mit folgender Beziehung zu tun hat:

Sei $\begin{eqnarray*} \{B_t\} \end{eqnarray*}$ eine Brownsche Bewegung. Dann sind $\begin{eqnarray*} \{B_t\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{B^2_t-t\} \end{eqnarray*}$ Martingale bzgl. der kanonischen augmentierten Filtration von $\begin{eqnarray*} \{B_t\} \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube, dass für den Beweis dieser Aussage die Vervollständigung benötigt wird.

Aber wie gesagt: Das ist nur meine Vermutung und ich lass mich hier auch gern eines Besseren belehren. Wink

27.06.2006, 02:04

cauchy_n

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hi,
vielen dank für die antwort. Also ich hab mal in der üblichen Literatur nachgeschaut (Bauer, Karatzas/Shreve), aber soweit ich weiß, benötigt man die augmentierte Filtration nicht um zu zeigen dass obige Prozesse Martingale sind. Allerdings bleibt die Martingaleigenschaft bei der augmentierten kanonischen Filtraion erhalten, da ich doch bei den zugehörigen Rado-Nikodym-Gleichungen dann über P-Nullmengen integriere und das ändert ja nichts an der Aussage(?).

ich denk mal noch ne zeit darüber nach.

Gruß

27.06.2006, 09:56

Dual Space

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Zitat:

Original von cauchy_n
ich denk mal noch ne zeit darüber nach.

Ich auch!

27.06.2006, 13:53

Ben Sisko

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Ohne mich wirklich auszukennen: Was werden denn da für Nullmengen erweitert? (Stefan, du hast gesagt, dass es eine kanonische Möglichkeit gibt)

Falls man zu weit ausholen müsste, ignoriert meine Frage, ich bin nur neugierig Augenzwinkern

Gruß vom Ben

27.06.2006, 15:04

Dual Space

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Ohne mich wirklich auszukennen: Was werden denn da für Nullmengen erweitert? (Stefan, du hast gesagt, dass es eine kanonische Möglichkeit gibt)

Also angenommen wir haben einen stochastischen Prozess $\begin{eqnarray*} \{X_t\}_{t\in T} \end{eqnarray*}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ . Dann ist die kanonische Filtration zu diesem Prozess definiert als

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_t:=\sigma(X_s,~s\in T,~s\leq t) \end{eqnarray*}$

und natürlich ist $\begin{eqnarray*} \{X_t\}_{t\in T} \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \{\mathcal{G}_t\}_{t\in T} \end{eqnarray*}$ adaptiert.

So und nun definiert man die augmentierte/vervollständigte Filtration $\begin{eqnarray*} \{\mathcal{F}_t\}_{t\in T} \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_t:=\sigma(\mathcal{G}_t\cup\mathcal{N}),\text{ wobei } \mathcal{N}=\{A\subset\Omega:\exists N\in\mathcal{F}:\mathbb{P}(N)=0,~A\subset N\}. \end{eqnarray*}$

Und langsam dämmert es mir auch, wofür man das eigentlich macht:

Also wenn man sich die Bewertungsformeln am Ende mal ansieht, stellt man schnell fest, dass diese nicht mehr (direkt) vom Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ abhängen. Anstelle dessen steht nun ein zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ äquivalentes Martingalmaß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ (oder irgendwie anders bezeichnet).
Das heißt, dass das ursprüngliche W-Maß $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ lediglich die Nullmengen definiert, und da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\sim\mathbb{P} \end{eqnarray*}$ bleiben diese auch unter $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Was sind nun aber die Nullmengen aus Sicht der Bewertung? Das sind genau die Ereignisse, die (fast) sicher NICHT eintreten werden.
Und was ist denn eine Filtration aus Sicht der Bewertung? Sie beschreibt den (relevanten) Wissensstand des Wirtschaftssubjektes in jedem Zeitpunkt.

MaW: Wenn wir die Filtration nicht mit den übrigen $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ -Nullmengen vervollständigen würden, würde der Bewertungsprozess von f.s. UNMÖGLICHEN Ereignissen beeinflusst werden, und genau das soll doch vermieden werden.

27.06.2006, 17:17

cauchy_n

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SO,

habe es jetzt gott sei dank gefunden, nachdem es mir keine Ruhe gelassen hat (ist ja auch ne Prüfungsfrage). Steht in Ralf und Elke Korn "Optionsbewertung und Portfolioptimierung" (1999) S.17. :

Die P-Erweiterung hat den Vorteil, dass wenn Y eine Modifikation von X ist, aus der $\begin{eqnarray*} F_{t} \end{eqnarray*}$ -Meßbarkeit von $\begin{eqnarray*} X_{t} \end{eqnarray*}$ auch die von $\begin{eqnarray*} Y_{t} \end{eqnarray*}$ folgt. Sie sind bzgl. der gleichen Filtration messbar.

Finde hört sich logisch an. Bei der Modifikation können die Nullmengen vom Zeitpunkt abhängen. Definitionsgemäß sind alle klein-Omega für die X ungleich Y, ist P-Nullmengen. Durch die Augmentierung gehören sie nun Zur Sigma-Algebra. Also hab ich in meiner Algebra alle Mengen für die X gleich und alle für die X ungleich Y ist.

Ok, vielen Dank für die Mühe und Gruß

27.06.2006, 18:15

Dual Space

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Danke für die Erklärung cauchy_n, hat Spass gemacht darüber nach zu grübeln. Freude

27.06.2006, 23:51

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Dual Space
MaW: Wenn wir die Filtration nicht mit den übrigen $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ -Nullmengen vervollständigen würden, würde der Bewertungsprozess von f.s. UNMÖGLICHEN Ereignissen beeinflusst werden, und genau das soll doch vermieden werden.

"beeinflusst werden" heisst hier, wir wüssten nicht, dass sie fast sicher unmöglich sind, oder?

Ansonsten danke ich auch!

28.06.2006, 01:49

Dual Space

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Zitat:

Original von Ben Sisko
"beeinflusst werden" heisst hier, wir wüssten nicht, dass sie fast sicher unmöglich sind, oder?

Jepp ... ganz genau! Augenzwinkern

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