Orthogonales Komplement

26.06.2006, 19:47

Bjoern1982

Orthogonales Komplement

Hallo zusammen !

Sei $\begin{eqnarray*} V=\{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | a_i \in R\} \end{eqnarray*}$

mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} < f,g > = \int_{0}^{1}~f(t)g(t)~dt \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich das orthogonale Komplement von W=span(1,x) finden.

Ich hab mir gedacht, dass ich mir dafür die obige Defintion des Skalarprodukts für die Polynome nehme und diese null setze ( für f aus V und g aus W)

Aber irgendwie kommt da nichts vernünftiges heraus...

Oder muss ich für ein Polynom f aus V auch ein allgemeines 1. Grades nehmen?

Freue mich über jede Hilfe.

Gruß Björn

26.06.2006, 20:03

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonales Komplement
Man weiß: dim(V)=4, dim(W)=2, also muss die Dimension des orthogonalen Komplements auch 2 sein. Finde also zwei lin. unabh. Polynome, die nicht das Nullpolynom sind und die zu allen aus W orthogonal sind ("zu allen aus W" heisst zu einem allgemeinen Polynom aus W).
Sie düfen selbst nicht in W sein => Grad > 1.
Lineare Unabhängigkeit erreichst du, indem du eins vom Grad 2 und eins vom Grad 3 nimmst.

Hilft das?

Gruß vom Ben

27.06.2006, 18:21

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ben

Danke für deine Antwort.

Warum muss man denn genau 2 linear unabhängige Polynome finden?
Ich dachte das orthogonale Komplement beinhaltet genau ein Polynom, für welches dann bestimmte Bedingungen für die Koeffizienten gelten müssen...

Zitat:

Sie düfen selbst nicht in W sein => Grad > 1

Ist das wirklich zwingend erforderlich?

Sorry, aber ich blicke da noch nicht so ganz durch.

Gruß Björn

27.06.2006, 23:58

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Warum muss man denn genau 2 linear unabhängige Polynome finden?

Aus Dimensionsgründen, s.o. Augenzwinkern

Vielleicht schaust du dir nochmal die Definition an!

Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Sie düfen selbst nicht in W sein => Grad > 1

Ist das wirklich zwingend erforderlich?

Das orthogonale Komplement muss zu allen Vektoren aus W orthogonal sein, insbesondere müsste ein Vektor daraus zu sich selbst orthogonal sein, wenn er gleichzeitig in W wäre. Dies ist nach Definition des Skalarproduktes aber nur der Nullvektor (hier also das Nullpolynom).

Gruß vom Ben

28.06.2006, 12:29

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aus Dimensionsgründen, s.o.

Meinst du dim(V)=dim(W)+dim(W^c)

W^c soll das orthogonale Komplement von W sein

Also muss ich dann zwei Gleichungen aufstellen :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(a_0+a_1x+a_2x^2)(a_0+a_1x)~dx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)(a_0+a_1x)~dx=0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

28.06.2006, 13:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, jetzt bringst du deine zu bestimmenden Polynome mit denen aus span{1,x} durcheinander. unglücklich

Wie Ben schon sagte, eins der Dimension 2 und eins Dimension 3. O.B.d.A. kann der höchste Koeffizient dabei jeweils gleich 1 sein. Also Ansatz $\begin{eqnarray*} P_1(x)=x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ , und das Polynom muss erfüllen

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}~(x^2+a_1x+a_0)x~\mathrm{d}x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}~(x^2+a_1x+a_0)~\mathrm{d}x=0 \end{eqnarray*}$

Analog dann für das zweite Polynom $\begin{eqnarray*} P_2(x)=x^3+b_2x^2+b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}~(x^3+b_2x^2+b_1x+b_0)x~\mathrm{d}x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}~(x^3+b_2x^2+b_1x+b_0)~\mathrm{d}x=0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du noch einen Freiheitsgrad übrig, kannst also z.B. von vornherein einen der Koeffizienten gleich Null setzen.

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonales Komplement

Verwandte Themen