Bestimmtes Integral

26.06.2006, 19:31

vektorraum

Bestimmtes Integral

Hi!

Eigentlich sehen die Aufgaben gar nicht schwer aus, aber ich komm damit nicht so richtig klar. Wir sollen das bestimmte Integral von drei Funktionen berechnen. Ich hab da mal angefangen....
Sind meine Lösungen soweit richtig!?!?

1. $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^4~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(ix+1)/2 & \textrm{falls } x \in [1,3] \\ -x+5-3i &\textrm{falls }x \in [3,4] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Dabei sei i das komplexe i Augenzwinkern

Nun, ich hab bei meiner Lösung das Integral erstmal intervallweise aufgespalten. Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^4~f(x)~dx=\int_{1}^3~f(x)~dx~+~\int_{3}^4~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Eingesetzt und Bruch im ersten Ausdruck auseinandergezogen:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^3~\cfrac{1}{2}~ix+\cfrac{1}{2}~dx+\int_{3}^4~-x+5-3i~dx \end{eqnarray*}$

Nun integriert:

$\begin{eqnarray*} \left[\cfrac{1}{4}~ix^2+\cfrac{1}{2}x\right]_{1}^3+\left[-\cfrac{1}{2}x^2+5x-3ix\right]_{3}^4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun alles einsetze erhalte ich dann bereits zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^4~f(x)~dx=-i+2,5 \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn? Und wenn ja, gibt man die Lösung so an, weil da ja noch das komplexe i drin ist!?!?

2. Dann die nächste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~(x+2i)\left|x\right|~dx \end{eqnarray*}$

Hier hab ich mir gedacht, dass ich auch das Integral auseinanderziehe, weil der Betrag mir ja beim Ableiten Probleme machen könnte, also:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~(x+2i)\left|x\right|~dx=\int_{-1}^0~(x+2i)\left|x\right|~dx+\int_{0}^1~(x+2i)\left|x\right|~dx \end{eqnarray*}$

Nun, jetzt würde ich partielle Integration machen, weil sich der Betrag dann schön weghebt. Aber das Problem ist dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \left|x\right|\cdot\left(\cfrac{1}{2}x^2+2ix\right)-\int_{-1}^0~(-1)\cdot\left(\cfrac{1}{2}x^2+2ix\right)~dx+\left|x\right|\cdot\left(\cfrac{1}{2}x^2+2ix\right)-\int_{0}^1~1\cdot\left(\cfrac{1}{2}x^2+2ix\right)~dx \end{eqnarray*}$

Na ja, ich weiß noch nicht mal, ob man die partielle so machen darf, wegen den Grenzen. Und das Problem ist doch dann auch, dass ich dort, wo kein Integral mehr steht, keine Werte für x einsetzen kann, oder wie!?!?!?!

3. Und wie ist es bei dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\left|\sin x\right|~dx \end{eqnarray*}$

?!?!?

Wäre echt super nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Dankeschön Wink

26.06.2006, 19:55

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Bei 3) muss du nur wissen wie |sin(x)| aussieht. Lass dir das doch mal plotten. Dann wirst du sofort eine sinnvolle Einteilung finden

26.06.2006, 19:59

20_Cent

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die 1. ist gar nicht wohldefiniert, für x=3 liefert die funktion zwei unterschiedliche werte.
mfG 20

26.06.2006, 21:35

vektorraum

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@20_Cent: Ich hab die Angabe so abgeschrieben, wie sie mein Prof rausgegeben hat. Hat mich zwar auch gewundert, aber ich hoffe, dass es nicht allzuviel an der aufgabe ändert ????

Bei der 3) Nun, ich weiß leider nicht, wie ich einen Betrag in den Plotter eingeben kann. Aber ungefähr weiß ich ja wie die Funktion verläuft. Ist eigentlich die Sinus Funktion, nur dass dann alldiejenigen Bereiche "nach oben geklappt" sind, welche im Negativen wären...
Ist das Integral dann:

$\begin{eqnarray*} \left|- \cos x\right| \end{eqnarray*}$ !?!?!?!

Weil die Ableitung würde ja stimmen, wenn - oder muss ich hier wieder bei der Ableitung eventuell die Beträge beachten???

Danke für eure Hilfe!

26.06.2006, 21:43

20_Cent

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naja, da ist ne unstetigkeitsstelle, wobei ich mich im komplexen nicht auskenne...
dein wert scheint mir jedenfalls richtig.
Falsch definiert ist es trotzdem, bei einem intervall muss ne runde klammer hin Augenzwinkern

mfG 20

26.06.2006, 21:47

vektorraum

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@20 cent: Unstetigkeitsstelle? Also angenommen, so wie es da steht ist es richtig, wäre doch dann die Rechnung so nicht ganz richtig, oder?!!??
Und anderenfalls stimmt es ja, meinst du.

Wie sieht es denn bei den anderen Aufgaben aus??? Wie mache ich das mit der partiellen Ableitung und dem Sinus???

26.06.2006, 21:51

20_Cent

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naja, wenn du 3 einsetzt, kommt oben und unten was anderes raus. Also ist die Funktion nicht wohldefiniert, und es hat eigentlich keinen Sinn weiter darüber zu reden, ob die Aufgabe richtig gelöst wurde, da sie gar nicht gelöst werden kann Augenzwinkern

(schreib deinem Prof/Assi ne mail...)
mfG 20

26.06.2006, 22:01

vektorraum

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@20_Cent: Ok, habs kapiert. Also wäre die Aufgabe richtig, wenn es entweder

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^4~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(ix+1)/2 & \textrm{falls } x \in [1,3) \\ -x+5-3i &\textrm{falls }x \in [3,4] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^4~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(ix+1)/2 & \textrm{falls } x \in [1,3] \\ -x+5-3i &\textrm{falls }x \in (3,4] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

heißen würde? Dann haut doch aber meine Lösung hin, oder?

@all: Wie sieht es denn ganz oben mit den anderen Aufgaben aus?

27.06.2006, 05:56

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so sieht der Graph von |sin(x)| aus:

|-cos(x)| ist sicherlich keine Stammfunktion von |sin(x)|, weil diese Funtionen nicht differenzierbar sind. Anhand des Bildes kannst du doch jetzt aber das Integral aufteilen, indem du den Betrag auflöst.

27.06.2006, 07:16

klarsoweit

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RE: Bestimmtes Integral

Zitat:

Original von vektorraum
Nun, jetzt würde ich partielle Integration machen, weil sich der Betrag dann schön weghebt.

Was willst du da mit partieller Integration? verwirrt

Was ist denn |x| für x < 0 bzw. x >= 0 ?

27.06.2006, 14:09

Leopold

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Manchmal geht es schneller, wenn man Integrationsregeln plus gesunden Menschenverstand anwendet:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~\left( x + 2 \operatorname{i} \right) \, |x|~\mathrm{d}x = \int_{-1}^1~x \, |x|~\mathrm{d}x \ + \ 2 \operatorname{i} \int_{-1}^1~|x|~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \, |x| \end{eqnarray*}$ ungerade und die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto |x| \end{eqnarray*}$ gerade. Das vereinfacht alles kolossal ...

27.06.2006, 20:01

Sunwater

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@VR: wenn du dir |sin x| ansiehst, ist klar, dass du immer die gleiche Fläche nebeneinander ist. Im Integrationsintervall zweimal die Fläche. Was wirst du also tun? verwirrt

*g*

P.S. bei deiner 1. Aufgabe hab ich das gleiche raus - was immer gut ist

28.06.2006, 13:10

vektorraum

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Hi!

Ich hab da nochmal scharf drüber nachgedacht, und bin nun auf ne Lösung gekommen verwirrt

Bei

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}~\left|\sin x\right|dx \end{eqnarray*}$

ist jetzt eigentlich klar. Weil den Betrag kann ich auch weglassen, wenn ich folgendes dafür mache:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}~\left|\sin x\right|~dx = 2\cdot \int_0^{\pi}~\sin x~dx \end{eqnarray*}$

Ist auch klar warum - weil die Sinusfunktion ja in diesem Intervall den gleichen Flächeninhalt beschreibt, also kann ich es auch mal zwei nehmen.

Bei der anderen Aufgabe mit dem Betrag ist jetzt auch alles klar Freude

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