Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)

Neue Frage »

dj napster Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)
Guten abend,
wir haben am Freitag noch das Thema Funktionsuntersuchen mit Extremal und Nebenbedigungen angefangen... Da ich seit 3 Jahren nicht mehr so die Matheleuchte bin (ist ne lange geschichte) hab ich nun ein paar Probleme und ich brauch diese Aufgaben da diese meine Versetzung in die 12 entscheidenkönnten. nun gut...

Aufgabe 1.

Welches von allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat den kleinsten Umfang?
(also da schonmal die Frage, wo soll da nen gegebener Flächeninhalt sein?)

Aufgabe 2. Ein Draht der länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen.
(also ich gehe mal davon aus, dass der Flächeninhalt gesucht ist, ich hatte angefangen mit
Nebenbedingung:
a=x
b=y
a*b=A
aber dann kam ich nicht mehr weiter, da es für mich keinen sinn ergab.. )

Aufgabe 3.
Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen.

Aufgabe 4.
Welcher einer Kugel einbeschriebene gerade Kreiskegel hat die größte Mantelfäche?


Ich muss sagen, ich raff da nicht viel, das Tafelwerk gibt da auch nicht viel her...
Ich würde mich über Hilfe und schnellen Anworten freuen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

zur 1: ist ne allgemeine Aufgabe, du musst den Umfang minimieren, bei gegebener Fläche.

zur 2: das ist nicht die Nebenbedingung, ist aber richtig. Die Nebenbedingung bekommst du über die 20cm Umfang.
(die 2 kannst du dir sparen, wenn du die 1 gemacht hast Augenzwinkern )

zur 3: Volumenformel aufstellen, Nebenbedingung ist Seitenkante =12, einsetzen, maximieren...

mfG 20
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)
Zitat:
Original von dj napster
Guten abend,
wir haben am Freitag noch das Thema Funktionsuntersuchen mit Extremal und Nebenbedigungen angefangen... Da ich seit 3 Jahren nicht mehr so die Matheleuchte bin (ist ne lange geschichte) hab ich nun ein paar Probleme und ich brauch diese Aufgaben da diese meine Versetzung in die 12 entscheidenkönnten. nun gut...

Aufgabe 1.

Welches von allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat den kleinsten Umfang?
(also da schonmal die Frage, wo soll da nen gegebener Flächeninhalt sein?)


Du musst so tun, als hätte dein Lehrer dir für A eine Zahl gegeben.
Das heißt, du schreibst immer A und stellst dir dafür eben eine Zahl vor.

Allgemein geht das mal so:

1. Die Formel dessen, was maximal oder minimal werden soll, ist die Hauptbedingung.

2. Dann schaut man, ob diese Formel eine Funktion ist.
eine Funktion ist sie dann, wenn auf der linken Seite 1 A, oder 1 V, oder 1 y steht
und auf der rechten Seite darf nur noch eine einzige andere Unbekannte drin stehen.

z.b. A(Rechteck) = a * b

da stehen rechts 2 Unbekannte drin - das ist keine Funktion.

Und deswegen braucht man eine Nebenbedingung.
Denn die soll eine Formel sein, in der die Unbekannten der Hauptbedingung drin sind und die gegebene Zahl.

bei meinem Beispiel wäre nun, wenn der Umfang gegeben wäre, die Formel für den Umfang die Nebenbedingung.
Dann drückt man sich eine Unbekannte aus der Nebenbedingung aus und setzt sie in die HB ein, damit dort nur noch a oder nur noch b steht.
Denn dann hat man eine Funktion geschaffen und kann schreiben:
A(a)
oder
A(b)

und das leitet man dann ab und setzt es 0, weil man ja den MAXIMALEN oder MINIMALEN Flächeninhalt will.
Und wie kriegt man bei der Kurvendiskussion den HOCHPUNKT ( maximal) oder TIEFPUNKT (= minimal)? - Indem man die 1. Ableitung 0 setzt.

Und wenn du das gemacht hast, dann kriegst für a oder b, je nachdem welche unbekannte in deiner HB steht, die Zahl raus, bei der der Flächeninhalt ein MAximum wird.

alles klar nun?

lg kiki
dj napster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent

zur 2: das ist nicht die Nebenbedingung, ist aber richtig. Die Nebenbedingung bekommst du über die 20cm Umfang.
(die 2 kannst du dir sparen, wenn du die 1 gemacht hast Augenzwinkern )


mfG 20


Danke, aber... Wenn ich doch schon als Nebenbedingungwas falsches hab, dann hilft mir der Hinweis, dass ich die über die 20cm bekomm auch nicht weiter... verwirrt
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das ist nicht die nebenbedinung, sondern die zu minimierende funktion Augenzwinkern
guck mal bei kiki, sie war "etwas" ausführlicher als ich Augenzwinkern
mfG 20
dj napster Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)
Zitat:
Original von kikira


Du musst so tun, als hätte dein Lehrer dir für A eine Zahl gegeben.
Das heißt, du schreibst immer A und stellst dir dafür eben eine Zahl vor.

Allgemein geht das mal so:

1. Die Formel dessen, was maximal oder minimal werden soll, ist die Hauptbedingung.

2. Dann schaut man, ob diese Formel eine Funktion ist.
eine Funktion ist sie dann, wenn auf der linken Seite 1 A, oder 1 V, oder 1 y steht
und auf der rechten Seite darf nur noch eine einzige andere Unbekannte drin stehen.

z.b. A(Rechteck) = a * b

da stehen rechts 2 Unbekannte drin - das ist keine Funktion.

Und deswegen braucht man eine Nebenbedingung.
Denn die soll eine Formel sein, in der die Unbekannten der Hauptbedingung drin sind und die gegebene Zahl.

bei meinem Beispiel wäre nun, wenn der Umfang gegeben wäre, die Formel für den Umfang die Nebenbedingung.
Dann drückt man sich eine Unbekannte aus der Nebenbedingung aus und setzt sie in die HB ein, damit dort nur noch a oder nur noch b steht.
Denn dann hat man eine Funktion geschaffen und kann schreiben:
A(a)
oder
A(b)

und das leitet man dann ab und setzt es 0, weil man ja den MAXIMALEN oder MINIMALEN Flächeninhalt will.
Und wie kriegt man bei der Kurvendiskussion den HOCHPUNKT ( maximal) oder TIEFPUNKT (= minimal)? - Indem man die 1. Ableitung 0 setzt.

Und wenn du das gemacht hast, dann kriegst für a oder b, je nachdem welche unbekannte in deiner HB steht, die Zahl raus, bei der der Flächeninhalt ein MAximum wird.

alles klar nun?

lg kiki



Also im Prinzip schon.. dannn nur nochma zum verständnis..

Nehmen wir mal an, ich setze die Zahl 2 für a ein..

Dann habe ich A(2)=b
leite die dann ab, A(2)=1
null setzen, a=-1 -> HP

aber des ist doch dann nicht die lösung? Hammer
 
 
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dj napster

Also im Prinzip schon.. dannn nur nochma zum verständnis..

Nehmen wir mal an, ich setze die Zahl 2 für a ein..

Dann habe ich A(2)=b
leite die dann ab, A(2)=1
null setzen, a=-1 -> HP

aber des ist doch dann nicht die lösung? Hammer


was ist das? für welche aufgabe soll das denn die lösung sein?

du hast doch:





mit

und A soll max. werden unter Bedingung daß U = 20 cm ist!

also U nach a oder b umstellen in A einsetzen, ableiten und extrema bestimmen, dann gefundener wert wieder in U einsetzen um die 2. unbekannte zu bestimmen, fertisch!
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)
edit:

danke koch, ich habs korrigiert.


Zitat:
Original von dj napster
Aufgabe 1.
edit:


Welches von allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat den kleinsten Umfang?
(also da schonmal die Frage, wo soll da nen gegebener Flächeninhalt sein?)


nein, nein, nein - gaaaanz falsch

Ich rechne dir nun mal dein 1. Beispiel vor, und was du dabei nicht verstehst, dann kannst noch mal fragen.
den rest musst dann selber lösen:

1.

Was soll minimal werden? - der Umfang
also ist die Hauptbedingung die Formel für den Umfang:

HB: U = 2a + 2b

hier sind 2 Unbekannte drin, nämlich a und b.
Daher braucht man eine Nebenbedingung.

Was steht in der Angabe, was gegeben ist?
der Flächeninhalt. So, als ob dein Lehrer gesagt hätte: A = 200cm²

Daher nehm ich jetzt als Nebenbedingung die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, denn da kommen auch meine 2 Unbekannten der Hauptbedingung ( a und b) vor:

NB: A = a * b

das form ich jetzt nach a oder b um. Ich entscheid mich dafür, nach a umzuformen:

a = A/b

und setz das jetzt für a in die Hauptbedingung ein. A ist ja wie eine Zahl (nicht vergessen!!!)

in HB:

U = 2 * (A/b) +2 b

weiter vereinfacht:



und siehe da, auf der rechten Seite steht nur noch eine einzige Unbekannte , nämlich b
A ist ja wie eine Zahl (nicht vergessen!!!!!!!!!)

und jetzt hab ich eine Funktion gemacht und kann somit schreiben:



und jetzt leite ich das ab.
Zuerst noch schauen, ob man da Kettenregel, Produktregel oder Quotientenregel anwenden muss....NEIN, muss man nicht.
Dann schauen, ob b unter einer Wurzel steht - nein.
Dann schauen, ob b im Nenner steht - ja! b steht im Nenner
daher muss man nun das b in den Zähler bringen, denn b ist wie x ....



Und nun kann ich ableiten:



dann wieder umformen:



und nun kann man Null setzen:



dann mit b² multiplizieren:

-2A +2 b² = 0

b² = A



nachdem b die breite des Rechtecks ist, kann das ja keine Minuszahl sein, daher gilt nur das positive Ergebnis.

Und nun kann man zurück in die Nebenbedingung einsetzen und man erhält dann a:



dann wurzelfrei machen, indem man mit Wurzel aus A / Wurzel aus A multipliziert und dann ergibt das:



alles klar nun?

lg kiki
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Funktionsuntersuchungen (Extremal - Nebenbedingungen)
Zitat:
Original von kikira
Zitat:
Original von dj napster
Aufgabe 1.

Welches von allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat den kleinsten Umfang?
(also da schonmal die Frage, wo soll da nen gegebener Flächeninhalt sein?)


nein, nein, nein - gaaaanz falsch

Ich rechne dir nun mal dein 1. Beispiel vor, und was du dabei nicht verstehst, dann kannst noch mal fragen.
den rest musst dann selber lösen:

1.

Was soll minimal werden? - der Umfang
also ist die Hauptbedingung die Formel für den Umfang:

HB: U = 2a + 2b

hier sind 2 Unbekannte drin, nämlich a und b.
Daher braucht man eine Nebenbedingung.

Was steht in der Angabe, was gegeben ist?
der Flächeninhalt. So, als ob dein Lehrer gesagt hätte: A = 200cm²

Daher nehm ich jetzt als Nebenbedingung die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, denn da kommen auch meine 2 Unbekannten der Hauptbedingung ( a und b) vor:

NB: A = a * b

das form ich jetzt nach a oder b um. Ich entscheid mich dafür, nach a umzuformen:

a = A/b

und setz das jetzt für a in die Hauptbedingung ein. A ist ja wie eine Zahl (nicht vergessen!!!)

in HB:

U = 2 * (A/b) + b

weiter vereinfacht:



und siehe da, auf der rechten Seite steht nur noch eine einzige Unbekannte , nämlich b
A ist ja wie eine Zahl (nicht vergessen!!!!!!!!!)

und jetzt hab ich eine Funktion gemacht und kann somit schreiben:



und jetzt leite ich das ab.
Zuerst noch schauen, ob man da Kettenregel, Produktregel oder Quotientenregel anwenden muss....NEIN, muss man nicht.
Dann schauen, ob b unter einer Wurzel steht - nein.
Dann schauen, ob b im Nenner steht - ja! b steht im Nenner
daher muss man nun das b in den Zähler bringen, denn b ist wie x ....



Und nun kann ich ableiten:



dann wieder umformen:



und nun kann man Null setzen:



dann mit b² multiplizieren:

-2A + b² = 0

b² = 2A



nachdem b die breite des Rechtecks ist, kann das ja keine Minuszahl sein, daher gilt nur das positive Ergebnis.

Und nun kann man zurück in die Nebenbedingung einsetzen und man erhält dann a:



dann wurzelfrei machen, indem man mit Wurzel aus 2A / Wurzel aus 2A multipliziert und dann ergibt das:



alles klar nun?

lg kiki


achtung!! hier liegt ein fehler vor( gehe von tippfehler aus! Augenzwinkern ) die würde sich eventuell durch die ganze rechnung ziehen, habe es nicht weiter verfolgt!!


es muß:


sein!
dj napster Auf diesen Beitrag antworten »

danke.. smile

also nehmen wir mal meine 2te aufgabe als bsp:
Ein Draht der länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen.

das ist im prinzip ja das gleiche, nur dass ich ne zahl habe...

u=2(a+b)
20=2(a+b)
20-2b=2a
a=10-b

einsetzen
A=10-b*b
A=10-b²
A'=10-b
A''=-2
A'=0
0=10-2b
b=5
a=10-b
a=5

Antwort: Die seiten a+b sind jeweils 5cm lang...


achsoo. lol. ok.. sry.. hier brauchte ich ja den umfang und in der anderen aufg. den flächeninhalt.. 2 verschiedene paar schuhe.. aber das hab ich jetzt verstanden.. beides, hoffe ich doch.. danke euch.. smile

jetzt hab ich immer noch die eine aufgabe am hals..

Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen.

Wenn ich mir des grad richtig rausgesucht habe, brauche ich diese Formel hier:
v = r² * pi * h / 3
und den pythagoras.. also
12²=h²+r²

einsetzen:
v = (12²/h²) * pi * h / 3
und dann ableiten
v' = 12^2 * (h^ -3) * (pi/3)
und dann 0 setzen..
0= 12^2 * (h^ -3) * (pi/3)
die klammer rüber, also
h^3 = 12^2 * pi/3
und dann die 3.wurzel.. ist das soweit richtig?

weiter komm ich dann nicht.. unglücklich
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dj napster
danke.. smile

also nehmen wir mal meine 2te aufgabe als bsp:
Ein Draht der länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen.

das ist im prinzip ja das gleiche, nur dass ich ne zahl habe...

u=2(a+b)
20=2(a+b)
20-2b=2a
a=10-b

einsetzen
A=10-b*b
A=10-b²
A'=10-b
A''=-2
A'=0
0=10-2b
b=5
a=10-b
a=5

Antwort: Die seiten a+b sind jeweils 5cm lang...


achsoo. lol. ok.. sry.. hier brauchte ich ja den umfang und in der anderen aufg. den flächeninhalt.. 2 verschiedene paar schuhe.. aber das hab ich jetzt verstanden.. beides, hoffe ich doch.. danke euch.. smile

jetzt hab ich immer noch die eine aufgabe am hals..

Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen.

Wenn ich mir des grad richtig rausgesucht habe, brauche ich diese Formel hier:
v = r² * pi * h / 3
und den pythagoras.. also
12²=h²+r²

einsetzen:
v = (12²/h²) * pi * h / 3
und dann ableiten
v' = 12^2 * (h^ -3) * (pi/3)
und dann 0 setzen..
0= 12^2 * (h^ -3) * (pi/3)
die klammer rüber, also
h^3 = 12^2 * pi/3
und dann die 3.wurzel.. ist das soweit richtig?

weiter komm ich dann nicht.. unglücklich




Du hast das Chaos perfekt!
und daher auch so viel falsch.

Dir fehlen zum Teil die Grundlagen:

wenn du für a = 10 - b hast
und das in

A = a * b

einsetzen willst, dann steht da:

A = (10 - b) * b

A = 10b - b^2

Du hast absolut kein Symstem. Wieso bezeichnest du die Dinge nicht mit Nebenbedingung und Hauptbedingung.

Außerdem:

Achtest du nicht darauf, bevor du ableitest, ob du da überhaupt drauf los ableiten darfst, ob du nicht Kettenregel/Produktregel/Quotientenregel oder Umformen musst.

Du leitest frisch fröhlich drauf los ab und alles ist falsch.

Schau noch mal genau!

lg kiki
dj napster Auf diesen Beitrag antworten »

mit den grundlagen hast du völlig recht, da mir knapp die letzten 3 jahre (klasse 7-10) fehlen, dank meiner ach so tollen mathelehrerin,m vorher war ich immer 2-3.. aber wie gesagt, ist ne längere geschichte. ich kanns ja jetzt auch nicht mehr ändern und muss damit leben..

hmm, also was du mir gesagt hast, klingt logisch... aber ich hab von 2 freunden, die ich zwischendurch auch nochma gefragt habe und die es auch wirklich drauf haben, gefragt und die haben mir das selbe gesagt... verwirrt
hmm. kann sein, dass ich auch etwas falsch abgeschrieben habe..

aber wo du es sagst, wegen der neben und extramalbedingung, die zu benennen.. aja, sogar das kann ich noch nicht einmal... mein daddy meinte und sogar meine jetztige mathelehrerin, dass das buch scheisse wäre uind das da nichts drinstehe... also was tun? selbstbeibringen kann ich mir das so also auch nicht.. ach ich schwafel. sry..

also..
aber guck doch mal.. ich hab doch da stehen:

0=10-2b
da setz ich die -2b dann rüber, also 2b=10 | /2b
b=5
a (wie oben nach a aufgelöst) ist = a=10-b
da b, wie vorhin ausgerechnet 5 ist, ist a auch 5... ist doch eigentlich lgisch!? Freude
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe deine ganzen rechnungen nicht durchgeforstet, aber


ist richtig! es ist das quadrat!
dj napster Auf diesen Beitrag antworten »

danke.. vielleicht liegt das daran, dass ich einfach die "kinderrechnung" mache und ihr auf einem anderen standard rechnet...
aber das ergebnis zählt ja.. smile danke euch soweit. wie gesagt, an der anderen aufgabe haperts nun noch..
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dj napster
danke.. smile

also nehmen wir mal meine 2te aufgabe als bsp:
Ein Draht der länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen.

das ist im prinzip ja das gleiche, nur dass ich ne zahl habe...

u=2(a+b)
20=2(a+b)
20-2b=2a
a=10-b

einsetzen
A=10-b*b A = (10 - b) * b
A=10-b² A = 10b - b²
A'=10-b A' = 10 - 2b
A''=-2
A'=0
0=10-2b
b=5
a=10-b
a=5


da hast aber viel inzwischen gewurschtelt und bist nur durch glück wieder aufs richtige gekommen.

lg kiki
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit kinderrechnung oder hoher rechnung oder sonst was nix zu tun, es ist halt immer das selbe schema! nebenbedingung und hauptbedingung aufstellen und dann geht's los!

NB:

HB:

NB nach b aufgelöst:



in A eingesetzt:



A soll ja maximal werden, also ableiten :











mit:









es ist ein quadrat!!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »