Hyperbeln und deren Asymptoten

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Axel Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperbeln und deren Asymptoten
Hallo,

als Übung sollen wir folgende Aufgabe lösen:

"Zu welcher Geraden ist der Grapf von f symetrisch? Gib auch die Asymptoten an."


f(x)=x [hoch -18] - 4 ..Ich habs leider im Formeleditor nicht hinbekommen.

-> Ich bin leider völlig überfordert und weiß gar mnciht wie ich anfangen sollte. Zumal mir Asymptoten auch noch schleierhaft sind.

MfG
Axel
macky Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hyperbeln und deren Asymptoten
Hey,
also zuerst mal zur Symmetrie.. Meist ist es ja so, dass die Graphen, die wir in der Schule bekommen symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung sind, d.h. es ist immer das einfachste das erst mal zu prüfen. Da nach einer Geraden gefragt ist, also die Symmetrie zur y-Achse f(-x)=f(x)

Eine Asymptote ist eine Gerade an die sich dein Graph annähert, so wie sich zum Beispiel die Exponetialfunktionen an die x-Achse annähern.
Um die Asymptoten zu berechnen musst du einmal das Verhalten im unendlichen berücksichtigen, und außerdem den Definitionbereich. Denn wenn du Definitionslücken hast, nähert sich der Graph ja auch an bestimmte Achsen an.

Ich hoffe damit kommst du vllt ein bisschen weiterAugenzwinkern wenn nicht frag einfach smile
Axel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hyperbeln und deren Asymptoten
Zitat:
Original von macky
Hey,
also zuerst mal zur Symmetrie.. Meist ist es ja so, dass die Graphen, die wir in der Schule bekommen symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung sind, d.h. es ist immer das einfachste das erst mal zu prüfen.


-> Wie kann ich dies denn prüfen, ohne den Graph zu zeichnen?

Zitat:
Da nach einer Geraden gefragt ist, also die Symmetrie zur y-Achse f(-x)=f(x)

Hmm, ich verstehe gerade nicht ganz das f(-x)=f(x)

Zitat:

Um die Asymptoten zu berechnen musst du einmal das Verhalten im unendlichen berücksichtigen, und außerdem den Definitionbereich. Denn wenn du Definitionslücken hast, nähert sich der Graph ja auch an bestimmte Achsen an.


Ich frage mal einfach, wie kann ich das denn berechnen bzw die Definitionslücken herausfinden?

MfG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe mal den Term auf positive Hochzahl um. Wo der Nenner Null wird .. das ist schon mal eine besondere Stelle. Welche? Was passiert, wenn ?



mY+
macky Auf diesen Beitrag antworten »

hey,
das mit dem f(x) =f(-x) musst du die so vorstellen, dass alle Werte zu f(-x) links von der y-Achse liegen, weil die x-Werte, die du einsetzt ja negativ sind.
alle Werte zu f(x) liegen somit rechts von der y-Achse, da du ja dementsprechend positive Zahlen einsetzt.
und wenn für f(x) und f(-x) die gleichen Funktionswerte rauskommen, sieht der Graph "links und rechts" von der y-Achse genau gleich aus.
Die parabel f(x)=x^2 ist eigentlich das beste Beispiel dafür. Setzt du z.B. -1 für x ein, nimmt die Funktion den gleichen Wert an wie wenn du 1 einsetzt.

Für die Definitionslücken musst du den Definitonsbereich deiner Funktion bestimmen und dann gucken, bei welchen Zahlen deine Funktion dann nicht definiert ist.

Und das Verhalten im Unendlichen wird über den bzw. über den berechnet. Das müsstest du doch eigentlich von den Kurvendiskussionen kennen oder?
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von macky
Und das Verhalten im Unendlichen wird über den bzw. über den berechnet. Das müsstest du doch eigentlich von den Kurvendiskussionen kennen oder?


Ich bin erst in der 10 Klasse, und sowas haben wir noch nicht gemacht smile
 
 
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Was passiert, wenn ?


Was beudetet das denn? Hatten wir ebenfalls noch nicht unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht aber nicht anders, oder du liest die Asymptote eben aus dem Graphen ab! Alternativ kannst du einfach sehr große x (100, 1000, ...) einsetzen und abschätzen, wohin der Funktionswert strebt!

mY+
macky Auf diesen Beitrag antworten »

ok sry Augenzwinkern
Wir haben das alles immer nur in dem Zusammenhang gemacht, deswegen dachte ich, dass das bei dir auch so wäre
Das Verhalten gegen unendlich soll ja zeigen, wie sich der graph für sehr klein, bzw. sehr große Zahlen verhält.
Das heißt du überlegst dir, was deine Funktion für sehr klein/große Werte machen würde.
setzt du in für x sehr große werte ein, wird dieser Teil des Terms sehr klein, strebt also gegen 0.
das gleiche passiert auch für sehr kleine Zahlen, da die negativen Zahlen durch das potenzieren positiv werden.
Wenn der erste Teil des Terms also gegen 0 geht, bleibt nur noch der zweite Teil(-4) über. Der Term würde dann gegen f(x)=-4 streben, was dann auch deine Asymptote darstellt. Die geplottete Funktion zeigt das ja auch schön.

edit: ich glaub ich schreib zu viel und zu lange Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@macky
Du hast es aber schön erklärt smile

mY+
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von macky
ok sry Augenzwinkern
Wir haben das alles immer nur in dem Zusammenhang gemacht, deswegen dachte ich, dass das bei dir auch so wäre
Das Verhalten gegen unendlich soll ja zeigen, wie sich der graph für sehr klein, bzw. sehr große Zahlen verhält.
Das heißt du überlegst dir, was deine Funktion für sehr klein/große Werte machen würde.
setzt du in für x sehr große werte ein, wird dieser Teil des Terms sehr klein, strebt also gegen 0.
das gleiche passiert auch für sehr kleine Zahlen, da die negativen Zahlen durch das potenzieren positiv werden.
Wenn der erste Teil des Terms also gegen 0 geht, bleibt nur noch der zweite Teil(-4) über. Der Term würde dann gegen f(x)=-4 streben, was dann auch deine Asymptote darstellt. Die geplottete Funktion zeigt das ja auch schön.

edit: ich glaub ich schreib zu viel und zu lange Augenzwinkern


Ich glaube ich habe es verstanden, nur weiß ich jetzt nicht ob die Asymptote x=-4 oder y=-4 ist.

Eigentlich sollte es doch x=-4 sein, da sie parallel zur X-Achse verläuft und sich dort ja gegen unendlich läuft.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Parallele zur x-Achse haben natürlich die Gleichung y = c !
Alle Punkte auf dieser Parallelen haben ja das gleiche y !

mY+
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Parallele zur x-Achse haben natürlich die Gleichung y = c !
Alle Punkte auf dieser Parallelen haben ja das gleiche y !

mY+


Sprich meine Asymptote für die Aufgabe lautet: "y=-4"

..und das ist dann so fertig?
macky Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre dein waagerechte Asymptote. Allerdings siehst du ja, wenn du dir das Bild anguckst, dass es auch noch eine senkrechte gibt.
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Waagerecht: y=-4
Senkrecht : x=1 und ?? x=-1 ??

So müsste es jetzt ja stimmen, da die Senkrechte Asymptote ja bei x = 1 und -1 liegt, oder?
macky Auf diesen Beitrag antworten »

nein, nicht ganz, denn für 1 und -1 ist deine Funktion ja noch definiert. Die Asymptoten an die sich die Funktion annähert sin immer stellen, an denen sie eben nicht mehr definiert ist. Dazu solltest du dir mal den Definitionsbereich überlegen.
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von macky
nein, nicht ganz, denn für 1 und -1 ist deine Funktion ja noch definiert. Die Asymptoten an die sich die Funktion annähert sin immer stellen, an denen sie eben nicht mehr definiert ist. Dazu solltest du dir mal den Definitionsbereich überlegen.


Naja, Definitionsbereich, wäre ja alles bis auf die 0.
Ich bin auf die 1 gekommen, in dem ich mir ja den Plott angeguckt habe...
Zumindestens haben wir es folgendermaßen im Heft notiert gehabt:

D=R\{0}
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Axel
...
Ich bin auf die 1 gekommen, in dem ich mir ja den Plott angeguckt habe...
...


So kann man sich täuschen. Du hast die Nullstelle der Funktion gesehen und gemeint, dass man sie ausschließen müsste. Dies stimmt keinesfalls. Und nebenbei, die Nullstellen sind



sie liegen daher nur in der Nähe von +1 oder -1 !

Und, es heisst Plot, aber plotten, Plotter

mY+
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt also meine Asymptoten sind:

y=-4 und x=1,08006 bzw -1,08006
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

y = -4 ja. Aber das andere?

Du passt aber auch gar nicht auf. Geht das Ganze eigentlich spurlos an dir vorüber? Die ggst. Stellen sind Nullstellen und keine Polstellen!

mY+
Axel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
y = -4 ja. Aber das andere?

Du passt aber auch gar nicht auf. Geht das Ganze eigentlich spurlos an dir vorüber? Die ggst. Stellen sind Nullstellen und keine Polstellen!

mY+



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