randextrema

26.06.2006, 23:41

20_Cent

randextrema

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K:=\{{x \choose y}\in\mathbb R^2;\|{x \choose y}\|_2\leq 1\} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f:K\rightarrow\mathbb R,~{x \choose y}\mapsto y^3+xy-x^3 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Inneren von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ kein lokales Maximum besitzt.

Hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein globales Maximum auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ?

Das erste hab ich, es gibt nur ein Minimum, in $\begin{eqnarray*} {-\frac{1}{3} \choose \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ , kein Maximum.

Wie zeige ich das zweite? Ich hab versucht x^2+y^2=1 nach x aufzulösen und einzusetzen, aber da komme ich nicht weiter...
weiß jemand einen tipp?
mfG 20

27.06.2006, 00:14

Abakus

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RE: randextrema
Die Standardidee ist ein Lagrange-Ansatz. Wie steht es damit ?

Grüße Abakus smile

27.06.2006, 15:40

20_Cent

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das sagt mir grade nix (ana 2 ?), allerdings bin ich der meinung (ist mir heute morgen eingefallen), dass es ein globales Maximum geben muss, denn die Funktion ist stetig, hat im inneren kein Maximum, sondern nur ein Minimum, also muss es auf dem Rand ein Maximum geben, sonst wäre sie konstant, was sie offensichtlich nicht ist.
mfG 20

27.06.2006, 16:58

Abakus

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Da f stetig ist, nimmt f auf dem kompakten Kreis natürlich sein Maximum an, ja. In einem inneren Punkt müsste an einer solchen Stelle die Ableitung verschwinden, da gibt es 2 Punkte mit dieser Eigenschaft hier.

Wenn du weißt, dass beide keine Maxima sind, liegt das Maximum demnach auf dem Rand. Bestimmt hast du es mit diesen Überlegungen noch nicht, aber solange das nicht gefordert ist, ok.

Grüße Abakus smile

27.06.2006, 17:45

20_Cent

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Da die Frage nur war, ob es eins gibt, bin ich fertig Augenzwinkern

Danke
mfG 20

27.06.2006, 18:35

JochenX

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Zitat:

Original von 20_Cent
denn die Funktion ist stetig, hat im inneren kein Maximum

Ein wenig fehlt mir noch die Hauptbegründung "der Definitionsbereich ist abgeschlossen", bzw. genauer f ist auf dem Rand definiert.

Im eindimensionalen erfüllt f(x)=x^2 auch die Bedingung, dass f kein inneres Maximum hat und stetig ist..... Mit allen Intervallen fährst du dabei aber nicht gut, die müssen schon zu sein.

27.06.2006, 18:59

20_Cent

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im inneren des abgeschlossenen beschränkten (kompakten) intervall meinte ich ja, hab ich nur nicht geschrieben Augenzwinkern

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