Varianz und Erwartungswert von Poissonverteilung und Binominalverteilung

27.05.2004, 00:05	Mutza	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz und Erwartungswert von Poissonverteilung und Binominalverteilung für binominalverteilung gilt: $\begin{align} P\(X=k\)=\(\array{n\\k}\) p^k \(1-p\)^n ^- ^k \end{align}$ für poissonverteilung gilt: $\begin{align} P\(X=k\) =\frac{e^- ^x \lambda^k}{x!} \end{align}$ Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt: $\begin{align} E\(X\) = \Bigsum_{k=0}^n~k P\(X=k\) \end{align}$ Die Varianz berechnet sich aus $\begin{align} Var\(X\) =E\( X^2 \) - \(E\(X\)\)^2 \end{align}$ Wie komme ich jetz auf (Binominal) $\begin{align} E\(X\) =np \end{align}$ $\begin{align} Var\(X\) =np\(p-1\) \end{align}$ (Poisson) $\begin{align} E\(X\) =\lambda \end{align}$ $\begin{align} Var\(X\) =\lambda \end{align}$ Schaffe diese Herleitungen einfach nicht...
27.05.2004, 01:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am einfachsten geht es mit der sogenannten erzeugenden Funktion. Ist X eine Zufallsvariable mit den Werten k=0,1,2,3,... und $\begin{align} P(X=k) \ = \ p_k \end{align}$ so nennt man die durch die Potenzreihe $\begin{align} g(x) \ = \ \Bigsum_{k=0}^\infty~p_k x^k \end{align}$ definierte Funktion g die erzeugende Funktion von X. Es gilt: $\begin{align} E(X) \ = \ g^'(1) \end{align}$ $\begin{align} E(X^2) \ = \ g^'(1)+g^{''}(1) \end{align}$ (sofern die zugehörigen Reihen bei x=1 konvergieren). Beispiel 1 (eher uninteressant) X sei die Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Laplace-Würfels. Es ist P(X=k) = 1/6 für k=1,2,3,4,5,6 und P(X=k) = 0 sonst. Also gilt $\begin{align} g(x) \ = \ \frac{1}{6} \(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\) \end{align}$ $\begin{align} g^'(x) \ = \ \frac{1}{6} \(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5\) \end{align}$ $\begin{align} g^{''}(x) \ = \ \frac{1}{6} \(2+6x+12x^2+20x^3+30x^4\) \end{align}$ Damit ist E(X) = g'(1) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 E(X²) = g'(1)+g''(1) = 3,5 + (2+6+12+20+30)/6 = 7/2+70/6 = 91/6 Var(X) = E(X²)-E(X)² = 91/6-(7/2)² = 35/12 Beispiel 2 (Binomialverteilung) X sei binomialverteilt mit den Parametern n,p (und q=1-p). Dann gilt $\begin{align} g(x) \ = \ \Bigsum_{k=0}^n~\(\array{n\\k}\)p^k q^{n-k} x^k \ = \ q^n \cdot \Bigsum_{k=0}^n~\(\array{n\\k}\) \(\frac{px}{q}\)^k \end{align}$ $\begin{align} = \ q^n \cdot \(1+\frac{px}{q}\)^n \ = \ \(q+px\)^n \end{align}$ $\begin{align} g^'(x) \ = \ np \cdot \(q+px\)^{n-1} \end{align}$ $\begin{align} g^{''}(x) \ = \ n(n-1)p^2 \cdot (q+px)^{n-2} \end{align}$ Damit ist E(X) = g'(1) = np·(q+p)^(n-1) = np E(X²) = g'(1)+g''(1) = np+n(n-1)p²(q+p)^(n-2) = np+n(n-1)p² Var(X) = E(X²)-E(X)² = np+n(n-1)p²-n²p² =np-np² = np(1-p) =npq Und mit Poisson darst du es jetzt selbst versuchen. nach K. L. Chung, Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse, Springer, 1978 (1985)
27.05.2004, 08:38	Mutza	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider haben wir die erzeugende Funktion und ihre Eigenschaften in unserer Vorlesung bisher nicht behandelt und dürfen sie daher auch nicht benutzen... Daher bräuchte ich jetzt entweder noch eine Herleitung der Eigenschaften der erzeugenden Funktion, oder aber éine Lösung die diese nicht benutzt. Trotzdem schonmal vielen Dank. Das hat mih auf jeden Fall weitergebracht. MfG Der Mutza
27.05.2004, 10:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Binomialverteilung gibt es auch einen elementaren Zugang ohne großen Rechenaufwand. siehe: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2428&sid= Meine dortigen Bemerkungen lassen sich leicht von 6; 1/6 , 5/6 auf n; p,q verallgemeinern. Und hier der mühsame rechnerische Beweis für E(X)=np, wenn X nach B(n,p) verteilt ist. Ich verwende dabei $\begin{align} k \(\array{n\\k}\) \ = \ k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \ = \ \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \ = \ n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \ = \ n (\array{n-1\\k-1}\) \end{align}$ . Jetzt zum eigentlichen Beweis: $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~k \(\array{n\\k}\) p^k q^{n-k} \ = \ \Bigsum_{k=1}^n~n \(\array{n-1\\k-1}\) p^k q^{n-k} \ = \ np \cdot \Bigsum_{k=1}^n~\(\array{n-1\\k-1}\) p^{k-1} q^{n-k} \end{align}$ $\begin{align} = \ np \cdot \Bigsum_{k=0}^{n-1}~\(\array{n-1\\k}\) p^k q^{n-1-k} \ = \ np \cdot (p+q)^{n-1} \ = \ np \cdot 1 \ = \ np \end{align}$ Einfacher geht es wohl nicht. Und mit ähnlichen Tricks muß man jetzt auch an E(X²) herangehen. Viel Vergnügen noch ...
27.05.2004, 17:43	Mutza	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Frage, wie hast du im Voretzten Schritt die Summe aufgelöst? Mit der Varianz hab ich auch so meine Probleme... Für poisson hab ich die Beweise bereits
15.11.2004, 23:24	Scheiternder	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenauflösung Wenn man den letzten Schritt rückwärts macht ist er vielleicht leichter zu verstehen. Die Summe ist die Schreibweise der Binomialkoeffizienten die auch im "Pascalschen Dreieck" stehen. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... ... ... ... .... .... (5) (5) (5) (5) (5) (5) (0) (1) (2) (3) (4) (5) Ist natürlich auch noch kein Beweis für den Schritt aber eher glaubhaft.
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