Geburten Wahrscheinlichkeit 1/2 - 1/3

21.09.2008, 15:27

Paul - Gast

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Geburten Wahrscheinlichkeit 1/2 - 1/3

Herr Maier hat zwei Kinder, von denen eines ein Sohn ist. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser einen Bruder hat?

Die richtige Lösung lautet: 1/3.

Die intuitive Lösung 1/2 mit der Argumentation, daß die Geburten der beiden Kinder voneinander unabhängig ist, ist deshalb falsch, weil die Aufgabe nicht verrät, welche der beiden Geburten ein Sohn ist.
Tatsächlich gibt es vier Möglichkeiten, wie die Geschlechter der Kinder verteilt sein können: MM, MJ, JM und JJ, von denen nur eine, MM, herausfällt, da wir wissen, daß mindestens eines der Kinder ein Junge ist. Es bleiben die drei Möglichkeiten MJ, JM und JJ, die jeweils gleichwahrscheinlich sind. JJ hat also eine Wahrscheinlichkeit von 1/3.

Das ist ja ganz logisch, meinetwegen ein praktisches Beispiel:
1993 | 1996
M | M (fällt weg, da kein Junge)
J | M
M | J
J | J

daher 1:3

ein freund versteht dies nicht und argumentiert dagegen mit
- J M und M J , is das gleiche ergebnis weil danach gefragt wird ob er bruder oder schwester hat
- da spiels keine rolle ob man älter oder jünger ist
- jo, ist schwachsin so wie du es erzählt müsstest du auch JJ als 2 permutationen sehen weil es dann ja J J ( der sohn als erster geannt ) und J J ( der sohn als zweiter geannt ) sehen musst
- hat halt beide male trotzdem nen bruder
- das nennt sich permutation mit wederholung

21.09.2008, 15:28

Paul - Gast

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wie könnte man dies noch anders / mathematisch erklären?

21.09.2008, 15:44

tigerbine

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Nicht genau gleich, aber man sieht die Argumentationstechnik:
Wette

21.09.2008, 15:46

Gast-Paul

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was kann man gegen seine argumente argumentieren?

22.02.2009, 20:57

MrPuffin

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Die Wahrscheinlichkeit ist 0%

Herr Maier hat schließlich nur einen Sohn.

auf wiedersehen

29.07.2010, 12:27

AD

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Junge, am Dienstag geboren...
Eine nette Variation dieses Problems ist heute - für die Allgemeinheit aufbereitet - im SPIEGEL zu lesen:

Wie uns die Intuition in die Irre führt

Wink

Wink

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29.07.2010, 13:40

Zellerli

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Ich bin schwer verwirrt.

Nehmen wir mal an, dass jeder Tag im Jahr einen Namen (besser eine Zahl und Schaltjahre sind eh doof) hat.

Jetzt sag ich ich hab einen Jungen, der ist am 73. geboren und insgesamt zwei Kinder.

Grundraum: $\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 1J, 2J, ... 365J, 1M, 2M, ... , 365M\}^2, | \Omega | = 730^2 \end{eqnarray*}$
Eines meiner Kinder ist 73J: $\begin{eqnarray*} A=\{(a_1,a_2) \in \Omega \mid \exists_{x \in \{1,2\}} ~ a_x=73J \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=A_1 \cup A_2 = \{(73J,a_2) \in \Omega \mid a_2 \in \{1J,...365J,1M,...,365M\}\}) \cup \{(a_1,73J \in \Omega \mid a_1 \in \{1J,...365J,1M,...,365M\}\} ) \end{eqnarray*}$
Beide Kinder sind Jungs: $\begin{eqnarray*} B=\{(b_1,b_2) \in \Omega \mid b_1,b_2 \in \{1J, ... 365J \} \} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(B | A) = \frac{|B \cap A|}{|A|}=\frac{|A_1 \cap B|+|A_2 \cap B|-|A_1 \cap A_2 \cap B|}{|A_1|+ |A_2| - |A_1 \cap A_2 |}=\frac{365+365-1}{730+730-1}\approx \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Unterteilungen des möglichen Geburtstermins gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(B | A) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir mal an ich verrate nicht den Tag des Jungen. Nur, dass ich einen habe.

Mal formaler:

Grundraum: $\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 1J, 2J, ... 365J, 1M, 2M, ... , 365M\}^2, | \Omega | = 730^2 \end{eqnarray*}$
Mindestens einer ist ein Junge: $\begin{eqnarray*} A=\{(a_1,a_2) \in \Omega \mid \exists_{x \in \{1,2\}} ~ a_x=iJ \ , \ i \in \{1,2, ..., 365\} \} \end{eqnarray*}$
Doppeljunge (siehe oben): $\begin{eqnarray*} B=\{(b_1,b_2) \in \Omega \mid b_1,b_2 \in \{1J, ... 365J \} \} \end{eqnarray*}$
Analog Doppelmädchen (Ereignis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ).

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(B | A) = \frac{|B \cap A| }{| A |} = \frac{|B | }{| A |} = \frac{|B|}{|\Omega | - | C |}=\frac{365^2}{730^2-365^2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist immernoch verrückt.
Ich hatte eigentlich vor aus ersterem Beispiel das letztere zu machen (die 365 Tage bilden eine Partition der Jungenmenge und dann schön hässlich die bedingten W aufsummieren). Aber das führte bei mir zu Verhedderungen.

29.07.2010, 14:35

AD

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Zitat:

Original von Zellerli
die 365 Tage bilden eine Partition der Jungenmenge und dann schön hässlich die bedingten W aufsummieren

Da liegt wohl das Problem:

Den Begriff "Partition" verwendet man gewöhnlich nur für disjunkte Vereinigungen. Die hier ist nicht disjunkt. unglücklich

unglücklich

Willkommen im Klub der Verwirrten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.07.2010, 14:42

Zellerli

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Wieso?

$\begin{eqnarray*} J := \{J1, J2, ... ,J364, J365 \} = J_1 \cup J_2 \cup ... \cup J_{364} \cup J_{365} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} J_i:=\{Ji\} \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} J_9=\{J9\} \end{eqnarray*}$

29.07.2010, 14:50

AD

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Ich bestreite ja nicht, dass die Vereinigung richtig ist - aber sie ist NICHT disjunkt:

Im Fall zweier Jungen kann etwa der eine am 1.Januar und der zweite am 2.Januar Geburtstag haben, also ist $\begin{eqnarray*} J_1\cap J_2 \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

29.07.2010, 15:29

Zellerli

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Aber die Zerlegung alleine ist erstmal eine Partition.

Das stimmt, da kommt dann schon das nächste Problem.

Ich dachte, dass man das dann streng zerlegt in Kind1 und Kind2.
Und dann kann man anfangen mit $\begin{eqnarray*} (J1,a_2) \end{eqnarray*}$ und alle durch. Und dann $\begin{eqnarray*} (J2,a_2) \end{eqnarray*}$ usw.
Dann hat man ja noch nichts verbrochen, denn weil J (siehe letzter Beitrag) disjunkt zerlegt wird, kann das Tupel auch nach seinem ersten Glied disjunkt zerlegen.

Vorhin hatte ich noch im Kopf, dass man damit irgendwas gewonnen hätte. Aber momentan sehe ich das nicht mehr...

29.07.2010, 15:29

Mystic

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Man mag mich ja jetzt auch den Verwirrten hinzuzählen, aber ich ich kann in der Argumentation von Zellerli keinen Fehler entdecken, bis auf einen kleinen Vorzeichenfehler, wo aber dann richtig weiterechnet, nämlich

$\begin{eqnarray*} \ldots=\frac{365+365-1}{730+730-1}\approx \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Den Einwand von Arthur verstehe ich nicht, ohne jetzt damit sagen zu wollen, dass er falsch ist... verwirrt

verwirrt

29.07.2010, 15:31

wisili

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Zur 2-Kind-Familie:
Unter allen Familien mit genau 2 Kindern werden die Zwei-Jungen-Familien schon durch die 1. Bedingung, dass mindestens ein Junge da ist, etwas angereichert (der Anteil 1/4 steigt auf 1/3). Mit der 2. Bedingung, dass der Junge am Dienstag geboren wurde, werden die Zwei -Jungen-Familien aber nochmal angereichert: 13 von 49 Zwei-Jungen-Familien sind noch dabei; bei den gemischten Familien sind nur noch 7 von 49 dabei.
Und würde man den Geburtstag ändern, von Dienstag auf Mittwoch etwa, so müssten bei den Zwei-Jungen-Familien nur 11 der 13 ausgetauscht werden, bei den gemischten dagegen alle 7.

29.07.2010, 15:35

Zellerli

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@Mystic:

Arthur hat doch keinen Einwand gegen die bloße Berechnung erhoben.

Ich habe nur weiter geäußert, dass ich die erste in die zweite Wahrscheinlichkeit überführen wollte mittels Summation bedingter Wahrscheinlichkeiten (setzt die Bildung einer Partition in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ voraus).
Und da geht es gerade darum, in wiefern eine Bildung disjunkter Teilmengen möglich ist (sodass es auch zielführend ist).

edit: Danke für den Hinweis, - in + verwandelt Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.07.2010, 15:36

AD

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Zitat:

Original von Mystic
Den Einwand von Arthur verstehe ich nicht, ohne jetzt damit sagen zu wollen, dass er falsch ist... verwirrt

verwirrt

Wenn ihr mal konkret eure Bedenken quantifizieren könntet? Nebulöse Einwände kann man schwerlich aus dem Weg räumen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also bitte eine komplette Rechnung, dann kann man auch den Fehler aufzeigen. Denn mit sowas wie "bedingten W aufsummieren" kann ich nichts anfangen. unglücklich

unglücklich

29.07.2010, 15:54

Mystic

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Mystic
Den Einwand von Arthur verstehe ich nicht, ohne jetzt damit sagen zu wollen, dass er falsch ist... verwirrt

verwirrt

Wenn ihr mal konkret eure Bedenken quantifizieren könntet? Nebulöse Einwände kann man schwerlich aus dem Weg räumen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also bitte eine komplette Rechnung, dann kann man auch den Fehler aufzeigen.

Ok, hab mir das alles nochmals durchgelesen und zusammen mit zellerli's Stellungnahme ist mir nun auch klar, dass es bei deinem Einwurf nicht um die Rechnung selber ging... Und das Vermögen, Bedenken zu "quantifizieren", setzt schon mal ein minimales Grundverständnis voraus, worum es überhaupt geht, das aber hier auf meiner Seite nicht vorhanden war... unglücklich

unglücklich

29.07.2010, 16:00

AD

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Tja ich erwarte sowas, wenn einem (sei es nur unterschwellig) unterstellt wird, dass etwas "faslch" sei.

29.07.2010, 16:36

Mystic

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Ok, hier doch noch ein schwacher Versuch, meine Bedenken zu "quantifizieren"... Du schreibst oben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich bestreite ja nicht, dass die Vereinigung richtig ist - aber sie ist NICHT disjunkt:

Im Fall zweier Jungen kann etwa der eine am 1.Januar und der zweite am 2.Januar Geburtstag haben, also ist $\begin{eqnarray*} J_1\cap J_2 \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Unter Verwendung der Definition, die zellerli gerade vorher gegeben hatte, nämlich

Zitat:

Original von Zellerli
$\begin{eqnarray*} [...] J_i:=\{Ji\} \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} J_9=\{J9\} \end{eqnarray*}$

müsste dann dann dieser Durchschnitt doch leer sein, oder etwa nicht?... verwirrt

verwirrt

Es sei denn, du verwendest $\begin{eqnarray*} J_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_2 \end{eqnarray*}$ in einem anderen Sinn als zellerli, womit meine Verwirrung dann aber berechtigt wäre...

29.07.2010, 17:09

AD

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Zellerli hat seine Symbolik nicht zweifelsfrei erklärt. Ich kann nur sagen, wie ich sie aufgefasst habe, was sich möglicherweise von Zellerli unterscheidet:

$\begin{eqnarray*} J_k \end{eqnarray*}$ ... eines der Kinder ist eine Junge, der am $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Tag des Jahres Geburtstag hat

$\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ... eines der Kinder ist eine Junge

Zumindest scheint mir diese Interpretation dem Problem noch am ehesten angemessen zu sein - und in dem Sinne habe ich oben nichts zurückzunehmen.

29.07.2010, 21:26

Mystic

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zellerli hat seine Symbolik nicht zweifelsfrei erklärt. Ich kann nur sagen, wie ich sie aufgefasst habe, was sich möglicherweise von Zellerli unterscheidet:{...]

Ja danke, jetzt hab's sogar ich verstanden... Freude

Freude

Und im nachhinein wird nun wohl auch jeder einsehen, dass ich an diesem Brückenschlag zwischen der von Zellerli nicht "zweifelsfrei" erklärten Symbolik *) einerseits und deiner genialen Interpretation andererseits gescheitert bin, ja scheitern musste... unglücklich

unglücklich

*) Worin diese Mängel genau liegen, habe ich auch noch nicht herausgefunden, aber ich arbeite daran... traurig

traurig

29.07.2010, 22:36

jester.

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@Zellerli: Warum verwendest du überhaupt 365 Tage? Es ist doch nur der Wochentag, an dem die Kinder geboren werden, von Interesse. Ich habe die Fragestellung mit folgendem Modell gelöst:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{J,M\}\times \{1,2,3,4,5,6,7\} \times \{J,M\}\times \{1,2,3,4,5,6,7\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |\Omega|=4\cdot 49 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei die Laplace-Verteilung.
Im Modell habe ich also Vierertupel, die mir angeben: Geschlecht des 1. Kindes, Wochentag, an dem das erste Kind geboren wurde, Geschlecht des 2. Kindes, Wochentag des zweiten Kindes.
Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\begin{eqnarray*} A=\{J\}\times \{2\}\times\{J\}\times \{1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{J\}\times\{1,2,3,4,5,6,7\}\times\{J\}\times\{2\} \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} V=\{J\}\times\{2\}\times\{J,M\}\times\{1,2,3,4,5,6,7\}\cup\{J,M\}\times\{1,2,3,4,5,6,7\}\times\{J\}\times\{2\} \end{eqnarray*}$ .
Dabei gilt $\begin{eqnarray*} |A|=13,~ |V|=27,~ A\cap V=A \end{eqnarray*}$ und damit kommt man sofort auf $\begin{eqnarray*} P(A|V)=\frac {13}{27} \end{eqnarray*}$ , wie im Artikel beschrieben.

Edit: Man möge mich selbstverständlich korrigieren, falls ich hier etwas übersehe - das ist durchaus nicht auszuschließen...

29.07.2010, 22:41

AD

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Ich denke mal, Zellerli will einfach ein anderes, aber ähnliches Problem mit Geburts- statt Wochentag betrachten. Nicht, dass das qualitativ einen großen Unterschied macht, nur quantitativ. Augenzwinkern

Augenzwinkern

-----------------------

Zusammen mit

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... beide Kinder sind Jungen

ist dann tatsächlich $\begin{eqnarray*} P(B|J) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , während

$\begin{eqnarray*} P(B|J_k) = \frac{729}{1459} \approx \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt. Ich hatte Zellerli jetzt so verstanden, dass er einen Widerspruch zwischen diesen beiden Werten sieht - wofür aber kein Grund besteht: Eine Berechnung a la

$\begin{eqnarray*} P(B|J) \stackrel{?} = \frac{1}{P(J)} \sum_{k=1}^{365} P(B|J_k)P(J_k) \end{eqnarray*}$ ,

also quasi als "gewichtetes Mittel" der bedingten Wahrscheinlichkeiten bzgl. $\begin{eqnarray*} J_k \end{eqnarray*}$ , würde nur dann richtig sein, wenn die $\begin{eqnarray*} J_k \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt sind - aber das sind sie ja eben nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.07.2010, 23:02

jester.

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich denke mal, Zellerli will einfach ein anderes, aber ähnliches Problem mit Geburts- statt Wochentag betrachten. Nicht, dass das qualitativ einen großen Unterschied macht, nur quantitativ. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok, klassisches Missverständnis. Dann zähle ich wohl jetzt auch zum Club der Verwirrten. Big Laugh

Big Laugh

30.07.2010, 00:14

Mystic

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Zitat:

Original von jester.
Ok, klassisches Missverständnis. Dann zähle ich wohl jetzt auch zum Club der Verwirrten. Big Laugh

Big Laugh

Welcome to the Club... Wink

Wink

Und ja, warum Zellerli nicht wenigstens 365 durch n ersetzt hat (wobei weitere Verallgemeinerungen auf der Hand liegen), habe ich jetzt auch nicht ganz verstanden... Mit konkreten Zahlen zu rechnen macht eigentlich fast nur Sinn, wenn man so wie im Fall n=7 im Artikel alle Fälle zur Kontrolle noch schön aufschreiben und abzählen kann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2010, 09:38

wisili

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Vielleicht hilft eine weitere Verallgemeinerung:

Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eins davon ist ein Junge, der das Merkmal M hat. (Das Merkmal M tritt bei Kindern mit der Wahrscheinlichkeit p>0 auf.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Antwort: (2-p)/(4-p)

30.07.2010, 11:47

Zellerli

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So, zurück von der Migräne.

Hab da im Bett in den schmerzfreien Phasen auch Zeit gehabt drüber nachzudenken.

Zuerstmal meine Symbolik (nun hoffentlich) zweifelsfrei erklärt:
Mit $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ war zunächst die Menge der Jungen gemeint. Sie enthält "einmal" alle Jungen nummeriert nach ihrem Tag.
Diese Menge (noch liegt nirgends ein Tupel vor), kann man disjunkt zerlegen in 365 Teilmengen, die jeweils den Jungen des Tages der Nummer haben, die sie tragen. Also $\begin{eqnarray*} J_9 = \{J9 \} \end{eqnarray*}$ . Damit ist aber erstmal nichts gewonnen, es war nur der allererste Ansatz.
Ich will auch garnicht sagen, dass die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht richtig sind (sonst hätte ich ja in meiner eigenen Rechnung einen Fehler gemacht!). Sondern ich will versuchen, die beiden unterschiedlichen Anordnungen möglichst nahe zusammen zu bringen.
Die Bedingung "ein Kind ist ein Junge" muss ja irgendwie durch die Bedingungen "ein Kind ist J1", "ein Kind ist J2", ..., "ein Kind ist J365" darstellbar sein.

Jetzt kommt das Problem, das Arthur beim Namen genannt hat:
Wenn ich sage "unter der Bedingung, der Junge, den ich habe ist der J73", dann treffe ich, weil ich 2-Tupel bilde, u.a. das Tupel $\begin{eqnarray*} (J2,J73) \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich dann alle bedingten W aufsummiere, tritt dieses Tupel natürlich auch auf in "unter der Bedingung, der Junge, den ich habe, ist J2". Also keine disjunkte Zerlegung.

Ich habe jetzt überlegt, das Problem zu umgehen, indem man über die Gegenwahrscheinlichkeit geht.

In den ungünstigen Ereignissen gibt es nur MM oder MJ bzw. JM-Paare. Also ist es eindeutig, wenn man bei den MJ bzw. JM-Paaren aufgliedert nach $\begin{eqnarray*} J1,...,J365 \end{eqnarray*}$ .
Zum Beispiel wird die Menge aller Tupel der Form $\begin{eqnarray*} \{(J,M) | J \in \{J1,...,J365 \}, M \in \{M1,...,M365\} \} \end{eqnarray*}$ durch die 365 Teilmengen $\begin{eqnarray*} J_1:=\{(J1,M)\},...,J_{365}:=\{(J365,M)\}, M \in \{M1,...,M365\} \end{eqnarray*}$ disjunkt zerlegt.

Jetzt aber erstmal ein verspätetes Frühstück (und Abendessen für den gestern verschlafenen Tag) nachholen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2010, 14:37

AD

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Dann habe ich wohl deine Überlegungungen

Zitat:

Original von Zellerli
Eines meiner Kinder ist 73J: $\begin{eqnarray*} A=\{(a_1,a_2) \in \Omega \mid \exists_{x \in \{1,2\}} ~ a_x=73J \} \end{eqnarray*}$

[...]

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(B | A) = \frac{|B \cap A|}{|A|}=\frac{|A_1 \cap B|+|A_2 \cap B|-|A_1 \cap A_2 \cap B|}{|A_1|+ |A_2| - |A_1 \cap A_2 |}=\frac{365+365-1}{730+730-1}\approx \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Unterteilungen des möglichen Geburtstermins gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(B | A) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

[...]

Das ist immernoch verrückt.
Ich hatte eigentlich vor aus ersterem Beispiel das letztere zu machen (die 365 Tage bilden eine Partition der Jungenmenge und dann schön hässlich die bedingten W aufsummieren). Aber das führte bei mir zu Verhedderungen.

falsch gedeutet: Offenbar machst du mit deinen $\begin{eqnarray*} J_k \end{eqnarray*}$ (gemessen an deinen oben zitierten Überlegungen) einen Neustart, indem du dich auf die Nicht-Zweijungen-Familien einengst - was du über kurz oder lang reparieren musst, wenn du den Bogen zur eigentlichen Problemstellung kriegen willst. Na, harren wir der Dinge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2010, 14:57

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die eigentliche Problemstellung?
Dass die bekannte Verallgemeinerung des «Gesetzes der totalen W'keit» eine Partition voraussetzt (die bis anhin niemand genannt hat), wurde hier mehrfach gesagt.

30.07.2010, 15:20

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest inzwischen mitgekriegt haben, dass ich auf das Bezug nehme

Zitat:

Original von Zellerli
Ich hatte eigentlich vor aus ersterem Beispiel das letztere zu machen (die 365 Tage bilden eine Partition der Jungenmenge und dann schön hässlich die bedingten W aufsummieren).

Also lass doch Zellerli mal selbst antworten, bevor du dich wieder an irgendwelchen Worten hochziehst.

30.07.2010, 16:36

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
... bevor du dich wieder an irgendwelchen Worten hochziehst.

Was soll der gehässige Ton?

30.07.2010, 16:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Strang, ich gebe es zu, nur grob überflogen. Aber mir fehlt zum ganzen Formelwust von Zellerli auch Fragestellung und Absicht. Wenn das einmal klar ist, kann man sich überlegen, inwieweit seine Modellbildung richtig und zielführend ist. Ein Modell ohne Problemstellung taugt nicht besonders viel.

Aber auch bei wisili verstehe ich etwas nicht:

Zitat:

Original von wisili
Vielleicht hilft eine weitere Verallgemeinerung:

Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eins davon ist ein Junge, der das Merkmal M hat. (Das Merkmal M tritt bei Kindern mit der Wahrscheinlichkeit p>0 auf.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Antwort: (2-p)/(4-p)

Wie kommst du auf diesen Wert? Ich komme auf etwas ganz anderes. Aber vielleicht habe ich da auch etwas mißverstanden.

30.07.2010, 17:05

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Präsentation der Rechnung fehlt mir im Moment die Zeit.
Beispiele:
Wenn M = «ist ein Kind», dann ist p = 1 und (2-p)/(4-p) = 1/3.
Wenn M = «ist an einem Dienstag geboren», dann ist p = 1/7 und (2-p)/(4-p) = 13/27.
Wenn M = «ist nicht an einem Dienstag geboren», dann ist p = 6/7 und (2-p)/(4-p) = 4/11.

30.07.2010, 17:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es noch einmal nachgerechnet, und komme jetzt auch auf dein Ergebnis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genauer: Wenn

$\begin{eqnarray*} A = \text{"zwei Jungen"} \, , \ \ B = \text{"mindestens ein Junge mit Merkmal M"} \end{eqnarray*}$

ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{1}{4} \, p \left( 4 - p \right) \, , \ \ P(A \cap B) = \frac{1}{4} \, p \left( 2 - p \right) \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{2-p}{4-p} \end{eqnarray*}$

30.07.2010, 18:16

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die allgemeine Formel von wisili mit ihrer bemerkenswert kurzen Herleitung ist wirklich recht nett und damit wahrscheinlich eines der wenigen Dinge, welche man sich aus diesem Thread "mitnehmen" kann... Freude

Freude

Nebenbei wird durch den Beweis auch klar, dass man als einzige Voraussetzung nur die Gleichverteilung der Geschlechter hat, während man über das Merkmal M nichts derartiges voraussetzen muss.... Wenn also z.B. bei den hier betrachteten Beispielen Geburtstage an gewissen Wochentagen/Tagen im Jahr häufiger stattfinden als an anderen, kann man das durch einen entsprechend abgeänderten Wert von p leicht berücksichtigen...

30.07.2010, 19:10

AD

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Ja, ich find's auch alles andere als befriedigend, dass Zellerli zwar Bedenken angemeldet hat, dass dann aber auch auf mehrfache Anfrage hin nicht sehr deutlich machen konnte, worin die Bedenken nun eigentlich konkret bestehen. Liegt sicher daran, dass er momentan gesundheitlich gehandicapt ist, daher von dieser Stelle gute Besserung. Wink

Wink

31.07.2010, 00:24

Zellerli

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Bin wieder fit, Migräne geht bei mir immer einen Tag. Aber danke für die Besserungswünsche.
War gerade im Kabarett und hab nebenbei einen Urlaub zu planen.

Außerdem fühle ich mich nicht verpflichtet, hier (schon garnicht in einer gewissen Zeit) eine Rechnung abzulegen. Trotzdem versuche ich das natürlich und hier liegen auch viele vollgekritzelte Zettel. Ich mach das ja nicht, um irgendwem was abzuliefern, sondern, damit ICH es verstehe. Purer Egoismus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich will die beiden unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten näher zusammenbringen und erhoffe mir daher ein eindeutigeres: "Da liegt der Unterschied"

Wenn ich also keinen Fehler unterstelle und selber bisher nur die harmlose Behauptung aufstelle der Partition der einfachen Jungenmenge, die ich aber auch bewiesen habe (Missverständnis ist hoffentlich gerklärt), muss ich sonst erstmal garnichts abliefern.

Dass mich das schwer verwirrt, muss erlaubt sein.
Und dass ich, gerade weil es mich (noch) verwirrt, keine Erklärung dafür abliefern kann, wie ich es denn anders darstellen würde, sodass der Unterschied klar ist, muss erst Recht erlaubt sein.

31.07.2010, 00:32

AD

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Na in dem Fall werde ich diesen Beitrag, den ich fälschlich für eine Anfrage gehalten habe, einfach als lautes Selbstgespräch deuten und entschuldige mich für die Unannehmlichkeiten. unglücklich

unglücklich

31.07.2010, 01:58

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist wirklich sehr monologhaft... Gute Interpretation Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2010, 09:21

Mystic

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Zitat:

Original von Zellerli
Ich will die beiden unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten näher zusammenbringen und erhoffe mir daher ein eindeutigeres: "Da liegt der Unterschied"

So wie ich das sehe, hat ja wisili hier inzwischen ganze Arbeit geleistet und und auf seine lakonische Art die Antworten auf deine Fragen hier abgeliefert... Wobei Formel + Beweis in etwa 3-4 Zeilen ausmachen...

1. Was ist also den beiden Wahrscheinlichkeiten gemeinsam? Sie ordnen sich beide der Formel

$\begin{eqnarray*} \frac {2-p}{4-p} \end{eqnarray*}$

unter, wobei p>0 die Wahrscheinlichkeit für das Merkmal M ist, welches ein Kind haben oder nicht haben kann... Im ersten Fall musst du dann einfach p=1/365 setzen, im zweiten Fall, wo M einfach ein Merkmal ist, das immer zutrifft, hat p einfach den Wert 1 und fertig ist die Zusammenführung der beiden Formeln... Zumindestens habe ich so deine Frage verstanden...

2. Wo liegt der Unterschied? Wurde auch schon gesagt: In den verschiedenenen Werten von p, sonst gibt es keinen Unterschied...

3. Was passiert, wenn p gegen 0 geht, was deinem $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ entspricht? Die Wahrscheinlichkeit geht gegen 1/2, was auch herauskommen würde, wenn man (natürlich fälschlich) annehmen würde, die beiden Ereignisse, deren bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen ist, wären voneinander unabhängig...

So wie ich das sehe, warst du dieser Lösung auch schon so nahe, aber die fatale Idee, das Ganze mit n=365, statt mit allgemeinem n durchzurechnen, wie ich das oben schon kritisiert habe, hat dir den Blick auf das Wesentliche "versperrt", nämlich dass der erst Fall einfach n=365, der zweite aber n=1 ist...

Gibt es danach von deiner Seite aus noch Unklarheiten, oder habe ich wiedermal gänzlich mißverstanden, wo die genauen Ursachen für dein "Verwirrtsein" liegen?

verwirrt

31.07.2010, 15:51

Zellerli

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Habe das schon verstanden mit der schönen Formel. Geht man über die Anzahl der Merkmale kommt man da auch drauf.

Mir geht es momentan darum, dass die 365 Untermerkmale ja jeweils nur das eine Merkmal J oder M "aufspalten".
Dass das keinen stört?

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