Diagonalen eines Parallelogramms

21.09.2008, 16:46	DeRien	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalen eines Parallelogramms Nachdem ich selbst bei Wikipedia gesehen habe, dass für die Diagonalen eines Parallelogramms falsche Angaben gemacht werden (http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm), habe ich mal hier eine "geometrische" Herleitung für die längere Diagonale erstellt. Es ist vielleicht nicht die kürzeste und beste, aber dafür eine recht anschauliche Herleitung. Zunächst betrachten wir das Dreieck aus ak (k wie "kurz"), h und b auf der linken Seite des Parallelogramms. [attach]8653[/attach] Man kann schreiben : $\begin{eqnarray} cos (\pi) = \frac{h}{b} \end{eqnarray}$ Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt außerdem : $\begin{eqnarray} \gamma + \pi + 90°= 180°\Rightarrow \pi = 90°- \gamma \end{eqnarray}$ Daher kann man schreiben : $\begin{eqnarray} cos(90° - \gamma )= \frac{h}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Durch was kann man } cos(90° - \gamma ) \mbox{ ersetzen ? Durch } sin(\gamma ) \mbox{ ! Also kann man auch schreiben :} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin( \gamma )= \frac{h}{b} \Rightarrow h= b \cdot sin( \gamma ) \qquad (1) \end{eqnarray}$ Als nächstes gucken wir uns das Dreieck ak, b, h nochmal genauer an. Unter Einbeziehung des Einheitskreises soll zur besseren Darstellung b > 1 sein. [attach]8654[/attach] Unter Anwendung des Strahlensatzes kann man auch schreiben : $\begin{eqnarray} \frac{h}{sin(\gamma )} = \frac{a_{k}}{cos(\gamma )} \Rightarrow \frac{h}{sin(\gamma )}\cdot cos(\gamma )= a_{k} \end{eqnarray}$ Wenn man h aus (1) einsetzt erhält man : $\begin{eqnarray} \frac{b \cdot sin( \gamma ) }{\sin( \gamma )}\cdot \cos( \gamma ) = b \cdot \cos( \gamma )= a_{k}\qquad (2) \end{eqnarray}$ Unter Anwendung des Satzes von Pythagoras kann man zeigen : [attach]8655[/attach] $\begin{eqnarray} d^{2} = (a + a_{k})^{2} + h^{2} \end{eqnarray}$ Einsetzen von (2) und (1) ergibt : $\begin{eqnarray} d^{2} = (a + (b\cdot \cos(\gamma))^{2}+ (b\cdot \sin(\gamma))^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)+ b^{2} \cdot \cos^{2}(\gamma)+ b^{2}\cdot \sin^{2}(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)+ b^{2} \cdot (\cos^{2}(\gamma)+ \sin^{2}(\gamma)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)+ b^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Zusammenfassend gilt also für } d^{2} \mbox{:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Für } c^{2} \mbox{gilt :} \end{eqnarray}$ [attach]8656[/attach] $\begin{eqnarray} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \end{eqnarray}$
21.09.2008, 17:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen allgemein bekannten Satz: Cosinussatz bewiesen mY+ P.S.: Der Wiki-Artikel ist nicht falsch. Was stimmt deiner Meinung nach nicht?
21.09.2008, 17:27	DeRien	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelogramm Naja, der Artikel ist schon größtenteils richtig, aber ich finde, das die Beschreibung für e bei dem Kosinussatz falsch ist : Beta sollte Alpha sein. Oder ich habe den Artikel falsch verstanden. Ja klar, den Kosinussatz gibt es wahrscheinlich schon seit Jahrtausenden. Aber es stört ja nicht, die Zusammenhänge nochmal darzustellen . Ich hatte den Eindruck, daß in der Schule selten meine Beschreibung für d^2 gezeigt wird. Natürlich dann später bei Vektorrechnung. Die Form für c^2 kennt jeder. Und ich wollte mal LaTeX ausprobieren .

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