Padovan Folge / plastische Zahl

21.09.2008, 17:25

Arbmosal

Padovan Folge / plastische Zahl

Hallo,

ich lese gerade "Die wunderbare Welt der Mathematik" von Ian Stewart.
In Kapitel 8 erzählt er von der "plastischen Zahl". Sie steht in Verbindung zum Goldenen Schnitt.

Stewart schreibt der Goldene Schnitt ist der Grenzwert des Verhältnisses 2er aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen.
In Anlehnung dazu ist die "plastische Zahl" der Grenzwert des Verhältnisses 2er Zahlen der s.g. Padovan Folge.

So wie die Fibonacci Zahlen durch eine Spirale von Quadraten gebildet wird, werden die Zahlen der Padovan Folge durch eine Spirale von gleichseitigen Dreiecken gebildet. Fibonacci Quadrate (zur Padovan Reihe fand ich leider kein Bild)
Die Regeln um sie zu bilden sind in algebraischer Form
Fibonacci:
$\begin{eqnarray*} F(n+1)=F(n)+F(n+1) \end{eqnarray*}$
für F(0)=F(1)=1
Padovan:
$\begin{eqnarray*} P(n+1)=P(n-1)+P(n-2) \end{eqnarray*}$
für F(0)=F(1)=F(2)=1

Soweit so gut.
Aber dann sagt er, dass aus der Fibonacci-Regel für den Goldenen Schnitt folgende Gleichung folgt:
$\begin{eqnarray*} \phi=1+\frac{1}{\phi} \end{eqnarray*}$
Und dass aus der Regel nach der die Padovan Zahlen erzeugt werden für die Plastische Zahl p folgende Gleichung folgt:
$\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich nicht weiter. Ich kann das einfach nicht nachvollziehen.

Anregungen wären nett

MfG

21.09.2008, 19:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe Lineare Differenzengleichung, Unterabschnitt "Lösung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten"

21.09.2008, 22:49

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön. Jetzt hab ichs verstanden

MfG

21.09.2008, 23:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal spaßeshalber MuPAD eine explizite Darstellung errechnen lassen: Die charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^3 - \lambda - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

deiner linearen Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} P(n+1) = P(n-1) + P(n-2) \end{eqnarray*}$ besitzt eine reelle Lösung

$\begin{eqnarray*} p = \frac{\sqrt[3]{12}}{6} \left( \sqrt[3]{9+\sqrt{69}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{69}} \right) \approx 1.324718 \end{eqnarray*}$

sowie noch zwei konjugiert komplexe Lösungen $\begin{eqnarray*} r ~ e^{\pm \varphi i} \approx 0.868837 ~ e^{\pm 2.437735 ~ i} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1 p^n + r^n \left( C_2 \cos( \varphi n) + C_3 \sin( \varphi n) \right) \end{eqnarray*}$ .

Die speziellen Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} P(0)=P(1)=P(2)=1 \end{eqnarray*}$ ergeben dann (gerundet) folgende Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} C_1 = 0.722124,\quad C_2 = 1-C_1 = 0.277876,\quad C_3 = 0.404500 \end{eqnarray*}$

oder alternativ

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1 p^n + C_4 r^n \cos( \varphi n + C_5) \end{eqnarray*}$ .

mit

$\begin{eqnarray*} C_1 = 0.722124,\quad C_4 = 0.490750,\quad C_5 = 0.968876 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} |r|<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |C_4| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ könnte man in Kenntnis von $\begin{eqnarray*} P(n)\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ auch einfach

$\begin{eqnarray*} P(n) = \operatorname{rnd}(C_1 p^n) \end{eqnarray*}$

schreiben, mit Rundungsfunktion $\begin{eqnarray*} \operatorname{rnd} \end{eqnarray*}$ . Wink

22.09.2008, 23:24

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

So fürs Erste bin ich jetzt wieder verwirrt^^

Allerdings hatte ich bisher noch nicht die Zeit mir den Wikipedia Artikel in aller ausführlichkeit durchzulesen.

Im Moment ist mein größtes Problem wohl, dass ich wenig Erfahrung mit komplexen Zahlen habe.

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1 p^n + r^n \left( C_2 \cos( \varphi n) + C_3 \sin( \varphi n) \right) \end{eqnarray*}$ .

Meine bisherige Vermutung ist, dass die Reele Lösung mit dem ersten Summanden und die komplexen Lösungen mit dem 2ten Summanden zusammenhängen.

Mir fällt direkt auf, dass der 2te Summand sehr stark an die Form
$\begin{eqnarray*} z=r \cdot e^{\varphi i}=r \cdot (cos(\varphi)+i \cdot sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$
erinnert. Aber ich "vermisse" irgendwie das i vor dem sinus.

Sobald ich morgen von der Schule komme werde ich mich nochmal damit beschäftigen.

MfG

edit: Ich denke mir ist gerade noch etwas aufgefallen. Auf die Gleichung bin ich durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} P(n+1)=\lambda ^{n+1} \end{eqnarray*}$ gekommen. Ich werde zuerst den selben Ansatz nochmal versuchen.

23.09.2008, 07:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arbmosal
Im Moment ist mein größtes Problem wohl, dass ich wenig Erfahrung mit komplexen Zahlen habe.

Daran wird's wohl liegen. Da du das hier in Schulmathematik gepostet hast, werde ich mal etwas ausführlicher:

Zunächst wäre der Ansatz für die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1'\lambda_1^n + C_2'\lambda_2^n + C_3'\lambda_3^n\qquad (1) \end{eqnarray*}$

mit den drei Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda-1=0 \end{eqnarray*}$ , und irgendwelchen (i.a. komplexen) Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1',C_2',C_3' \end{eqnarray*}$ , die sich bei gegebenen Anfangsbedingungen aus diesen ermittel lassen.

Jetzt schauen wir uns genauer die drei Lösungen an: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=p \end{eqnarray*}$ sei die eine reelle Lösung, während $\begin{eqnarray*} \lambda_2=r e^{\varphi i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3=r e^{-\varphi i} \end{eqnarray*}$ die beiden komplexen Lösungen sind. Setzen wir alles mal in (1) ein:

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1'p^n + C_2'\left( r e^{\varphi i} \right)^n + C_3'\left( r e^{-\varphi i} \right)^n = C_1'p^n + C_2'r^n e^{n\varphi i} + C_3'r^n e^{-n\varphi i} \qquad (2) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres gemäß Potenzgesetzen bzw. Moivreschen Satz. Über die Eulersche Identität kann man nun

$\begin{eqnarray*} e^{n\varphi i} = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi), \qquad e^{-n\varphi i} = \cos(n\varphi) - i \sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$

in (2) einsetzen und erhält nach Umgruppierung

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1'p^n + r^n \left( (C_2'+C_3') \cos(n\varphi) + (C_2'-C_3')i \sin(n\varphi) \right) \end{eqnarray*}$ ,

Jetzt benenne (oder im Fall von $\begin{eqnarray*} C_2',C_3' \end{eqnarray*}$ transformiere) ich die Konstanten um:

$\begin{eqnarray*} C_1:=C_1',\quad C_2:=C_2'+C_3',\quad C_3:=(C_2'-C_3')i \end{eqnarray*}$

und bin so beim obigen Ansatz aus meinem letzten Posting angelangt. Ich hab das übersprungen, weil diese Transformation in die Sinus/Kosinus-Darstellung üblicher Standard ist - sowohl bei linearen Differenzengleichungen als auch ganz ähnlich bei linearen Differentialgleichungen. Der Vorteil ist jetzt, dass bei einer reellen Differenzengleichung mit auch reellen Anfangsbedingungen diese Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1,C_2,C_3 \end{eqnarray*}$ garantiert reell sind - die Einbettung des Problems in komplexe Zahlen war also vorher hilfreich, ist aber ab diesem Moment nicht mehr nötig.

23.09.2008, 17:49

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du dir nochmal soviel Zeit genommen hast.

Ich hab gestern Abend (konnte nich richtig schlafen^^) und heute morgen mal bissle rumprobiert.

$\begin{eqnarray*} P(n) = C_1'p^n + r^n \left( (C_2'+C_3') \cos(n\varphi) + (C_2'-C_3')i \sin(n\varphi) \right) \end{eqnarray*}$
bis dahin bin ich noch gekommen. nur auf die Idee die Variablen zu transformieren bin ich nicht gekommen. (wikipedia sei dank Augenzwinkern

)

Ich kann es mit meinem Taschenrechner zwar nicht ausrechnen, aber liege ich richtig mit der Vermutung dass $\begin{eqnarray*} C_2' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3' \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen sind?

Mir geht dazu gerade folgende Idee im Kopf rum:
Man kann jede reele zahl a auch als komplexe Zahl mit a+bi (b=0) darstellen.
Nun sei:
$\begin{eqnarray*} C_2':=a+bi~und~C_3':=c+di \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_2=C_2'+C_3' \\C_3=(C_2'-C_3')\cdot i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ sind reele Zahlen
Also:
$\begin{eqnarray*} C_2=(a+c)+(b+d)i \\C_3=((a-c)+(b-d)i)\cdot i \\C_3=-(b-d)+(a-c) \cdot i \end{eqnarray*}$
Da aber sowohl $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ reel sein sollen müsste doch gelten:
$\begin{eqnarray*} b+d=0 \\-d=b \\und \\a=c \end{eqnarray*}$
daher auch
$\begin{eqnarray*} C_2=2a\\C_3=-2b \end{eqnarray*}$
mit deinen Werten für $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ sollte ich beide ausrechnen können und komme auf:

$\begin{eqnarray*} C_2'=0,138938-0,20225i \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} C_3'=0,138938+0,20225i \end{eqnarray*}$

MfG

23.09.2008, 18:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso ist es. Wie du siehst, sind also $\begin{eqnarray*} C_2' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3' \end{eqnarray*}$ nicht reell, im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ .

Ich finde ja die bereits oben erwähnte Darstellung

$\begin{eqnarray*} P(n) = \operatorname{rnd}(C_1 p^n) \end{eqnarray*}$

ganz interessant. Sowas ähnliches gibt es ja auch bei der Fibonacci-Folge mit

$\begin{eqnarray*} F(n) = \operatorname{rnd}\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n \right) \end{eqnarray*}$

Diese Aussagen beinhalten nämlich noch etwas mehr als nur die Grenzwerte der Verhältnisse

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{F(n+1)}{F(n)} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{P(n+1)}{P(n)} = p \end{eqnarray*}$ .

23.09.2008, 19:16

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

Was beinhalten sie denn noch?
Die Vorteile sind mir klar, da bei den beiden Folgen ohnehin nur Natürliche Zahlen gesucht sind, aber ansonsten fällt mir nichts auf.

MfG

23.09.2008, 19:24

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arbmosal
Was beinhalten sie denn noch?

Eigentlich war's als Feststellung gemeint, über die du genauer nachdenken kannst, wenn du willst - aber nicht musst. Ich will es jetzt nicht sezieren. Augenzwinkern

23.09.2008, 19:33

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich werd mich mal schlau machen. Danke für die ganzen Erklärungen bisher

MfG

Neue Frage »

Antworten »

Padovan Folge / plastische Zahl

Verwandte Themen