Stetige, Diskrete Funktion

27.06.2006, 17:38

hansmoleman

Stetige, Diskrete Funktion

Hallo und einen guten Tag zusammen...

kann mir jemand bitte mal den unterschied zwischen diskreten und stetigen Funktionen erklären ???

Danke für eure Hilfe

verwirrt

27.06.2006, 17:47

Leopold

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Diskret sind zunächst einmal gewisse Mengen. Am besten kannst du dir eine diskrete Menge als eine Reihe einzelner isolierter Punkte vorstellen, die "nicht zusammenkleben". So ist etwa die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ diskret, die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dagegen nicht (wenn man die gewöhnliche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zugrunde legt).

Was soll dagegen "diskrete Funktion" bedeuten? Vielleicht eine Funktion auf einer diskreten Menge?

27.06.2006, 17:49

20_Cent

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Ich vermute mal ja, Bsp.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, diskrete Verteilungen können nur diskrete Werte annehmen (einzelne Werte), kontinuierliche (stetige) Verteilungen alle reellen Zahlen in einem Bereich.
mfG 20

27.06.2006, 18:32

Mathewolf

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Diskrete Funktionen sind solche, deren Definitionsbereich über eine diskrete Menge läuft oder eben in eine diskrete Menge Abbildet:

Beispiele für diskrete Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb N \longrightarrow\ \mathbb R \end{eqnarray*}$

und eben

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb R \longrightarrow\ \{0,1\} \end{eqnarray*}$
Sind typische Beispiele für diskrete Funktionen. Die Heavysidefunktion ist ein Vertreter der letzteren.

19.10.2010, 10:37

zhencui1982

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naja...Aber wie kann man beweisen, dass jede Funktion auf eine diskrete Definitionsbereich stetig ist?

19.10.2010, 11:04

tmo

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ stetig, wenn für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \subseteq D \end{eqnarray*}$ , die gegen x konvergieren, gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen f(x).

Wenn es nun aber keine solche Folge gibt, ist die Funktion also auch stetig. Weil dann gibt es ja keine Folge, für die es nicht gelten könnte. Also gilt es für alle.

19.10.2010, 12:48

Mathewolf

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Zitat:

Original von tmo
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ stetig, wenn für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \subseteq D \end{eqnarray*}$ , die gegen x konvergieren, gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen f(x).

Wenn es nun aber keine solche Folge gibt, ist die Funktion also auch stetig. Weil dann gibt es ja keine Folge, für die es nicht gelten könnte. Also gilt es für alle.

Das will mir nun nicht wirklich einleuchten. Existiert die Grundlage nicht, auf der eine Bedingung fußt, dann ist sie automatisch erfüllt? Das macht doch wirklich keinen Sinn, oder?

Diskrete Funktionen können nicht stetig sein, da es bei allen Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb N\supset D_f\ \longrightarrow\ \mathbb R \end{eqnarray*}$

kein $\begin{eqnarray*} x\in D_f \end{eqnarray*}$ gibt, für die die Stetigkeitsbedingung erfüllbar ist, denn in $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ sind nur Folgen des Typs $\begin{eqnarray*} \mathbb N\ \longrightarrow\ \mathbb N \end{eqnarray*}$ möglich. Diese konvergieren nicht, wenn es nicht gerade konstante Folgen sind.

19.10.2010, 13:17

René Gruber

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Zitat:

Original von Mathewolf
Existiert die Grundlage nicht, auf der eine Bedingung fußt, dann ist sie automatisch erfüllt? Das macht doch wirklich keinen Sinn, oder?

Doch, das macht Sinn! Überprüfe mal deine Logikkenntnisse:

Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ falsch ist, ist Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B = \neg A \vee B \end{eqnarray*}$ stets richtig, ganz gleich wie $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussieht!

Im übrigen gibt es ja auch im diskreten Fall Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die die Voraussetzung erfüllen: Nämlich die, die (zumindest ab einem gewissen Index) konstant sind. Aber für die ist dann die Aussage $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(x) \end{eqnarray*}$ trivial. Augenzwinkern

19.10.2010, 16:29

Mathewolf

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@ René Gruber:
Danke für deinen kleinen Exkurs in die Aussagenlogik.

Dadurch wird aber folgende Aussage nicht richtig.

Zitat:

Original von René Gruber
Im übrigen gibt es ja auch im diskreten Fall Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die die Voraussetzung erfüllen: Nämlich die, die (zumindest ab einem gewissen Index) konstant sind. Aber für die ist dann die Aussage $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(x) \end{eqnarray*}$ trivial. Augenzwinkern

Solche Folgen lassen sich zwar konstruieren, dadurch wird die Stetigkeitsbedingung aber nicht erfüllt. Denn eine Funktion f ist eben nicht dann stetig im Punkt x, wenn es eine oder mehrere Folgen gibt mit $\begin{eqnarray*} \lim a_n=x \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lim f(a_n)=f(x) \end{eqnarray*}$ . Nein, viel mehr wird verlangt, dass es für alle Folgen mit $\begin{eqnarray*} \lim a_n=x \end{eqnarray*}$ gilt. Ansonsten wären nämlich alle Funktionen stetig, denn Folgen mit der gewünschten Eigenschaft lassen sich immer finden.

19.10.2010, 16:37

tmo

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@Mathewolf: Aber im Falle der diskreten Definitionsmenge sind dies nunmal alle Folgen mit der Eigenschaft. Das sieht man sofort ein, wenn man einfach nur eine Umgebung des Punktes x betrachtet, die disjunkt zu $\begin{eqnarray*} D \setminus \{x\} \end{eqnarray*}$ ist (Diese gibt es, weil D diskret ist). In dieser Umgebung liegen fast alle Folgenglieder, also sind fast alle Folgenglieder gerade x.

19.10.2010, 19:52

Mathewolf

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Ich glaube, ich hatte eine falsche Vorstellung von "diskreten Mengen". Diskretheit hat doch eine viel allgemeinere Definition als ich sie verstanden hatte.

Vielen Dank für eure Erklärungen smile

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