Nullstellenproblem

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Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellenproblem
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, bzw. weiß ich nicht, wie ich das mache soll.

Gegeben ist die Funktion:




a) Für welche t Element aus R hat ft drei verschiedene Nullstellen?
b) Bestimmen Sie t Element aus R so, dass ft die Nullstelle 2 hat.


Wäre nett, wenn mir mal jemand helfen würde,


Grüße!
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Klammere x aus, dann hast Du schonmal die Nullstelle 0. Und jetzt überlege, wann

1) es überaupt zwei weitere verschiedene Nullstellen gibt

2) beide nicht 0 sind


(das erstmal zu a))
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Für t<0?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest Du die Zwischenschritte auch bitte aufschreiben? Augenzwinkern
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm, nein. Ich hab das aus dem Internet. Ich weiß echt nicht, wie ich das errechnen soll unglücklich
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathequal

Ehm, nein. Ich hab das aus dem Internet.


Na ja, das ist irgendwie nicht Sinn der Sache. Oder was hast Dir das jetzt gebracht? Augenzwinkern



Zitat:
Original von Mathequal

Ich weiß echt nicht, wie ich das errechnen soll


Wie wäre es denn Schritt für Schritt? Hast Du den obigen Tipp schon umgesetzt?
 
 
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich habs jetzt.

Das Ergebnis ist für t>8, weil wenn ich x ausklammere, bekomme ich in der pq Formel:

t/4+- Wurzel aus (t/4)^2 -4

Und wenn t=8 ist, gibt das 64/16 und das ergibt 4. 4-4 gibt 0 -> Zwei Nullstellen und wenn das in der Wurzel mehr als 0 gibt, gibts 3 Nullstellen --> t muss größer als 8 sein. Edit: bzw. auch kleiner als -8


Und die zweite Aufgabe?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Zwischenergebnis ist schonmal korrekt. Freude

Kompakt formuliert: Damit sich beim quadratischen Term zwei verschiedene Nullstellen ergeben, muss die Diskriminante größer als 0 sein. Das ist genau dann der Fall, wenn t > 8.

Jetzt kann allerdings der Fall eintreten, dass die Nullstellen vom quadratischen Term zwar voneinander verschieden sind, aber eine davon 0 lautet -- dann gäbe es für die gesamte Funktion doch nicht drei verschiedene Nullstellen.

Wie schließt man das aus?



// edit:

Zitat:
Original von Mathequal

t muss größer als 8 sein. Edit: bzw. auch kleiner als -8


Genau, das hatte ich übersehen. Also es muss t ungleich 8 sein.
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht, indem man sagt, dass p/2 ungleich der Diskriminante sein muss?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Damit würde man nur den Fall



abdecken, aber nicht





// edit: Und Du meintest doch die Wurzel aus der Diskriminante, oder?
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch unglücklich

Edit: Ja, meinte ich.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einfach nur die Werte für t herausfinden, bei denen Folgendes gilt:




Löse dafür die Gleichungen



und



Diese Lösungen musst Du gerade ausschließen.
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja, was ich theoretisch machen müsste, aber nicht, mit welcher Tecghnik ich das berechne.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lauten denn die Gleichungen



und



konkret?
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Den Teil habe ich eben nicht verstanden. x1=0 ist für mich eine eindeutige zuordnung und bedeutet, dass x1 Null ist.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann war meine Schreibweise ungünstig.

Also mit x1 bezeichne ich einfach den Term



und x2 ist der Name für





Das sind ja die beiden (variablen) Lösungen, bei denen man eben untersucht, wann sie 0 sind.
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich ja, aber ich weiß nicht, wie ich das rechnerisch rauskriege. Ich mach es die Ganze Zeit durch ausprobieren und komme nicht wirklich weiter. Meine Frage ist, wie ich das ausrechnen muss.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, was ist Dir unklar? Wie man eine Wurzelgleichung löst? Oder wie man überhaupt vorgeht?
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich muss ja t irgendwie extrahieren und auf eine Seite bringem oder? Wie mache ich das dabei?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Wurzel zuerst auf einer Seite isolieren. Und dann quadrierst Du die gesamte Gleichung, sodass die Wurzel wegfällt.

Beachte aber, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Du musst am Ende noch die Probe machen, ob die ermittelte Lösung tatsächlich die Ausgangsgleichung erfüllt.
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei der -Wurzel 4=0 raus

Und bei der +Wurzel t=32

32 Erfüllt aber nicht die Ausgangsgleichung.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in beiden Fällen 0 = 4 heraus, also gibt es überhaupt keinen Wert für t, bei dem man für x1 oder x2 die Zahl 0 bekommt.

Ich ahne, dass man das auch so herausbekommen hätte, aber ich weiß gerade nicht wie. Big Laugh



Also hast Du doch die Aufgabe gelöst! Um das Problem, dass die Lösungen x1 und x2 zwar verschieden sind, aber eine davon 0, brauchst Du Dich nicht zu kümmern, weil es niemals eintritt. Und wann die Lösungen verschieden sind, hast Du ja schon ermittelt.
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. Und die Aufgabe b)? Vielleicht nur kurz erläutern, wie die geht.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Werte für t herausfinden, bei denen



oder




Also wieder eine Wurzelgleichung. unglücklich
Mathequal Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hab es hinbekommen.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du die Lösungen noch eben sagen?
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Jetzt kann allerdings der Fall eintreten, dass die Nullstellen vom quadratischen Term zwar voneinander verschieden sind, aber eine davon 0 lautet -- dann gäbe es für die gesamte Funktion doch nicht drei verschiedene Nullstellen.

Das kann nicht sein - entweder sind alle drei 0 oder alle drei sind verschieden. (Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat eine Nullstelle oder drei, aber niemals 2.) Die einzigen solcher Funktionen, deren Nullstellen sämtlich 0 sind, wären die mit der Gleichung . Diese Form ist hier allerdings erkennbar nicht zu erreichen wegen der "8x" am Ende.
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