Wie erhalte ich bei Polynomen die Bézout-Darstellung?

21.09.2008, 19:55

babelon

Wie erhalte ich bei Polynomen die Bézout-Darstellung?

Hallo,

ich weiß bei einer Aufgabe nicht, wie ich die Bézout-Darstellung erhalte.

Die Aufgabe lautet:
Seien $\begin{eqnarray*} f=6t^3-27t^2+39t-18 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=5t^2-5t-10 \in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ .
a) Berechnen Sie den normierten $\begin{eqnarray*} ggT \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .
b) Ausserdem bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} d=xf+yg \end{eqnarray*}$ .

Zu Aufgabenteil a) habe ich mithilfe der Polynomdivision und euklidischem Algorithmus folgendes gerechnet:
$\begin{eqnarray*} ggT(f,g)=(30t-60) \end{eqnarray*}$
Damit ist der normierte
$\begin{eqnarray*} ggT(f,g)=d=(t-2) \end{eqnarray*}$

1. Ich würde mich freuen, wenn mir nochmal bestätigt wird, dass der normierte ggT wirklich nur derjenige ggT ist, bei dem der errechnete ggT durch den höchsten Koeffizienten hK(d) geteilt wird.
2. Ich weiß nicht, wie bei Aufgabenteil b) vorgegangen wird.

Im Voraus vielen Dank an alle.
Gruß babelon

21.09.2008, 20:09

system-agent

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Dein ggT ist richtig.

Edit: hier stand Unsinn.

21.09.2008, 21:50

Mathespezialschüler

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1. Ja.

2. Das hier sollte eine recht gute Erklärung sein. Man braucht nicht mehr als den euklidischen Algorithmus und muss dann nur noch entsprechend rückwärts einsetzen.

22.09.2008, 17:13

babelon

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
1. Ja

Damit bestätigst du also, dass es sinnig wäre, dass mir jemand mal bitte eben sagt, ob meine Lösung zu 1. so richtig ist, richtig? Big Laugh

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (6t^3-27t^2+39t-18) : (5t^2-5t-10)=(6/5)t-(21/5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(6t^3-6t^2-12t) \end{eqnarray*}$
-------------------------------
$\begin{eqnarray*} (-21t^2+51t-18) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(-21t^2+21t+42) \end{eqnarray*}$
-------------------------------
$\begin{eqnarray*} (30t-60) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (5t^2-5t-10) : (30t-60) = ((5/30)t+(5/30)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(5t^2-10t) \end{eqnarray*}$
----------------------
$\begin{eqnarray*} (5t-10) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(5t-10) \end{eqnarray*}$
----------------------
$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Der euklidische Algorithmus ergibt sich zu:
$\begin{eqnarray*} (6t^3-27t^2+39t-18) = (6/5)t-(21/5) * (5t^2-5t-10) + (30t-60) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5t^2-5t-10) = ((5/30)t+(5/30)) *(30t-60) + 0 \end{eqnarray*}$

Somit wäre mir unter Umständen klar, wie ich den ggT mit der Darstellung ggT(f,g)=xf + yg auszudrücken habe .. Allerdings soll ich ja den normierten ggT ausdrücken durch die Bezout-Darstellung.. Kann ich dann einfach beliebig Faktoren bauen ? (also das ganze durch 30 teilen?)

22.09.2008, 17:45

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von babelon
Kann ich dann einfach beliebig Faktoren bauen ? (also das ganze durch 30 teilen?)

Ja, natürlich. Du musst die 30 dann halt in die Koeffizienten reinpacken (also in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ).

23.09.2008, 20:59

babelon

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Da bin ich wieder :-)

..dann komme ich auf die Bézout-Darstellung

$\begin{eqnarray*} (30t-60) = 1 \cdot (6t^3-27t^2+39t-18) + (-1) \cdot (\frac{6}{5}t-\frac{21}{5}) \cdot (5t^2-5t-10) \end{eqnarray*}$

und erhalte durch Äquivalenzumformung $\begin{eqnarray*} \cdot \frac{1}{30} \end{eqnarray*}$ die gewünschte Darstellung mit dem normierten ggT:

$\begin{eqnarray*} (t-2) = \frac{1}{30}\cdot (6t^3-27t^2+39t-18) + ((-\frac{1}{25})t+\frac{7}{50}) \cdot(5t^2-5t-10) \end{eqnarray*}$

Damit ist für mich die Aufgabe gelöst.
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Gruß babelon

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