Unbestimmes Integral

21.09.2008, 20:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmes Integral Mich beschäftigt immer noch das Thema numerische Integration (Gauss-Quadratur, orthogonale Polynome), nun stellen sich mir aber erstmal "theoretische" Probleme. Könnte mir jemand gerade mal beim Integrieren helfen? Gesucht $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty}~\frac{1}{e^{x^2}}~dx \end{eqnarray}$ und allgemeiner $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty}~\frac{p(x)}{e^{x^2}}~dx,~p \in \Pi_n \end{eqnarray}$ Danke
21.09.2008, 20:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} a_n := \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^ne^{-x^2} ~ \dd x \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a_0 = \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ dürfte bekannt bzw. rauszukriegen sein (siehe Gaußsche Fehlerfunktion). $\begin{eqnarray} a_1 = 0 \end{eqnarray}$ bzw. sogar $\begin{eqnarray} a_n = 0 \end{eqnarray}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sollte sogar mit herkömmlichen Mitteln klar sein. Für größere Exponenten hilft partielle Integration: $\begin{eqnarray} a_n = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ \frac{1}{2} x^{n-1} \cdot 2xe^{-x^2} ~ \dd x = \Big[ -\frac{1}{2} x^{n-1} \cdot e^{-x^2} \Big]_{-\infty}^{\infty} + \frac{n-1}{2} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^{n-2}e^{-x^2} ~ \dd x = \frac{n-1}{2}a_{n-2} \end{eqnarray}$ . Soweit gewünscht kann man daraus nun auch eine explizite Formel für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ basteln, mit irgendwelchen Fakultäten.
21.09.2008, 20:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedankt.

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