Komplexer Logarithmus

21.09.2008, 20:52

C.Pistorius

Komplexer Logarithmus

Hi Ihr,

ich lerne gerade auf eine Prüfung und frage mich, warum man den Komplexen Logarithmus auf der geschlitzten Ebene definiert. Also die komplexe Ebene bis auf die negative reelle Achse und Null.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Lg
C.

21.09.2008, 21:01

system-agent

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Betrachte $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C^*\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ . Ist das integrabel?

22.09.2008, 09:51

C.Pistorius

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vermutlich nicht, $\begin{eqnarray*} $C^*$ \end{eqnarray*}$ ist ja kein einfach zusammenhängendes Gebiet, oder wie meinst Du das?

lg

22.09.2008, 14:36

system-agent

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Zitat:

Original von C.Pistorius
vermutlich nicht

Sogar ganz sicher nicht, denn das sagt Cauchy [oder du kannst es auch von Hand überprüfen: $\begin{eqnarray*} \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=e^{it} \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}f(z)\dd z \end{eqnarray*}$ .]

22.09.2008, 21:51

C.Pistorius

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sorry, aber was genau soll ich betrachten?

=)

23.09.2008, 09:06

system-agent

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Wenn du einen holomorphen Logarithmus $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ haben willst, dann soll dieser die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} l'(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ erfüllen.
Das heisst also man soll eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ finden.
Nun du möchtest $\begin{eqnarray*} l:\mathbb C^*\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ haben, also musst du eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^* \end{eqnarray*}$ finden.
Und wenn du das Integral oben ausrechnest und das Integrabilitätskriterium nutzt kommt heraus, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^* \end{eqnarray*}$ nicht integrabel ist, das heisst also einen holomorphen Logarithmus wie gewünscht gibt es nicht.
Und an was scheitert es, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^* \end{eqnarray*}$ nicht integrabel ist? Dann hast du die Antwort auf deine erstgestellte Frage.

23.09.2008, 10:11

C.Pistorius

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vielleicht daran, dass ich den Log von den negativen reellen Zahlen nicht bilden kann?

lg

23.09.2008, 17:51

system-agent

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Wieso sollte das ein Problem sein?
Tu doch einfach mal das was ich dir gesagt habe:
Berechne
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}\frac{1}{z}\dd z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=e^{it} \end{eqnarray*}$ .

23.09.2008, 23:09

C.Pistorius

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da kommt 2(pi)i raus, was sagt mir das nun?

25.09.2008, 12:02

system-agent

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Also, das heisst $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}\frac{1}{z}\dd z=2\pi\cdot i\neq0 \end{eqnarray*}$ .
Was muss aber erfüllt sein, damit es eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ geben kann? [Integrabilitätskriterium!]

28.09.2008, 19:35

C.Pistorius

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Achso .. ja klar.. danke =)

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