Grundlagen Statistik

27.06.2006, 18:57	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundlagen Statistik Hallo Leute, wir sind im Endspurt für dieses Semester und haben vor kurzem mit Statisik angefangen, was mir doch bisher die ein oder anderen Schwierigkeiten bereitet. Aufgabe 1: Um den Wert eines Ohmschen Widerstands zu prüfen, wurden 30 zufällig ausgewählte Widerstände geprüft. Es ergaben sich folgende Werte: Wert (in Ohm)->Anzahl Widerstände 10.7->1 10.8->3 10.9->5 11.0->12 11.1->6 11.2->1 11.3->2 a) Geben Sie eine Schätzung für den Mittelwert und die Varianz des Widerstandes an. b) Diskutieren Sie die zur Lösung von a) erforderlichen Verteilungsvoraussetzungen. Gut, bei a) ist ja nicht nach der bestmöglichen Schätzung gefragt, da würde ich als Schätzfunktion für den Mittelwert $\begin{eqnarray} \bar{x} = \frac{1+3+5+12+6+1+2}{7} \approx 4.2857 \end{eqnarray}$ benutzen, und für die Varianz die Formel $\begin{eqnarray} \sigma^{2} = \frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1} (X_i - \bar{X_n})^2 \approx 15.23809 \end{eqnarray}$ Was wird da nun bei Teil b) verlangt? Andere Aufgabe: Bei der Herstellung von Prozessoren fallen fehlerhafte Teile (=Ausschuss) an. Um den Anteil dieses Ausschusses zu schätzen, wird eine Stichprobe von 200 Prozessoren entnommen. Dabei wurden 190 einwandfreie Prozessoren festgestellt. a) Geben Sie eine Schätzung für den Ausschussanteil an. b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Ausschussanteil zum Konfidenzniveau 0.95 und interpretieren Sie das Ergebnis. Zu a): Hier würde ich wieder den Mittelwert nehmen (kein Probelm, da Binomielverteiling - oder???), und zwar einfach $\begin{eqnarray} 1- \frac{190}{200} = 0.05 \end{eqnarray}$ . Bei der b) hänge ich nun am längsten. Womit fange ich denn da an? Ich brauche wohl den Erwartungswert, in dem Fall $\begin{eqnarray} \mu = 0.95 \end{eqnarray}$ , ich brauche $\begin{eqnarray} \alpha = 0.05 \end{eqnarray}$ , dann noch $\begin{eqnarray} z=1.645 \end{eqnarray}$ (nach Tabelle fürs Quantil mit 0.95) und die Varianz (wie errechne ich die? Wie in erster Aufgabe?), damit ich nach der Formel auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall) das Intervall ausrechnen kann. Ist dass der richtige Weg?
27.06.2006, 19:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor man blind irgendwelche Formeln anwendet, sollte man den GMV (= Gesunder Menschenverstand) einschalten: Wenn alle gemessenen Widerstände zwischen 10.7 und 11.3 Ohm liegen, wie kann dann deren Mittelwert bei 4.28 Ohm liegen? Also schau dir noch mal genau an, welche Formeln du im Fall mehrfach auftretender Stichprobenwerte anwenden musst: Immer genau unterscheiden zwischen Wert und zugehöriger Häufigkeit seines Auftretens.
27.06.2006, 19:29	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nach gesundem Menschenverstand würde ich dann wie folgt rechnen: $\begin{eqnarray} \frac{10.7 \cdot 1 + 10.8 \cdot 3 + ... + 11.3 \cdot 2}{30} = 11 \end{eqnarray}$ Wie berechne ich denn dann die Varianz?
27.06.2006, 19:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das war der Mittelwert $\begin{eqnarray} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^m ~ h_kx_k \end{eqnarray}$ mit den Werten $\begin{eqnarray} x_1,\ldots,x_m \end{eqnarray}$ und deren Häufigkeiten $\begin{eqnarray} h_1,\ldots,h_m \end{eqnarray}$ , d.h., Gesamtanzahl $\begin{eqnarray} n=\sum_{k=1}^m ~ h_k \end{eqnarray}$ an Werten. Die Stichproben-Varianz berechnet sich dann gemäß $\begin{eqnarray} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^m ~ h_k(x_k-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ oder alternativ $\begin{eqnarray} s^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \left( \sum_{k=1}^m ~ h_kx_k^2 \right)-n\bar{x}^2 \right] \end{eqnarray}$
27.06.2006, 19:57	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke, dass hab ich verstanden. In Aufgabenteil b) (Diskutieren sie die zur Lösung von a) erforderlichen Verteilungsvoraussetzungen) würde ich jetzt schreiben, dass es erforderlich ist, dass das Auftreten der jeweiligen Widerstände voneinander unabhängig und außerdem normalverteilt ist, da sonst nicht davon ausgegangen werden kann, dass Mittelwert und Varianz repräsentant genug sind. Ist denn mein Ansatz bei der 2. Aufgabe der richtige Weg? Wenn ja, weiss ich immer noch nicht, auf welchem Weg ich auf die Varianz komme. Ist dass dann wegen der Binomialverteilung $\begin{eqnarray} \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \end{eqnarray}$ ???
27.06.2006, 20:53	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, zu dem oben genannten Konfidenzintervall: Die Grundgesamtheit ist hier Binomialverteilt, mit $\begin{eqnarray} p=0,05; n=200 \end{eqnarray}$ Dies liefert unsere Normalverteilung (da np(1-p)>9) mit $\begin{eqnarray} X \tilde{} N(0,05; \frac{0,05 \cdot 0,95}{200}) \end{eqnarray}$ . Außerdem ist gegeben: $\begin{eqnarray} 1- \alpha = 0,95 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_\alpha = 1,645 \end{eqnarray}$ (nach Tabelle fürs Quantil) und natürlich $\begin{eqnarray} P(\bar{x}-z(1-\frac{\alpha}{2}) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x}+z(1-\frac{\alpha}{2}) \frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0,95 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [0,05 - 1,645 \cdot 0,975 \cdot 0,0002375; 0,05 + 1,645 \cdot 0,975 \cdot 0,0002375] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [0,04962; 0,05038] \end{eqnarray}$ Wir wissen damit also, dass unser errechneter Erwartungswert mit einer Wahrscheinlichkeit aus diesem Intervall vom echten Erwartungswert abweicht. Könnte dass so hinhauen ?
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