Nullstellenberechnung von trigonometrischen Funkt.

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PG Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellenberechnung von trigonometrischen Funkt.
Hi
Kann mir einer sagen, wie man die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnen kann?

z.B. die Funktionen



danke
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

wann wird denn der sinus 0?
dann musst du gucken, wann das argument x^2 genau diese werte hat.
mfG 20
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellenberechnung von trigonometrischen Funkt.
@f(x)
Wo sind denn die Nullstellen von h(t)=sin(t)? Also muss gelten x²=t. Damit kannst du alle Nullstellen von sin(x²) bestimmen.

Beim zweiten geht es analog. Hast du damit schon genügend Ideen?
PG Auf diesen Beitrag antworten »

der sinus wird bei x=0 0 und bei usw.
hmm und wie weiter?

muss ich dann folgendes:


??
was ist dann mit der anderen funktion? da habe ich ja auch einen konstanten faktor...
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt unendlich viele lösungen...
am besten du schreibst das in mengenform, oder so ähnlich.
mfG 20
PG Auf diesen Beitrag antworten »

für die Menge gilt
z ist element von ganzen Zahlen
und für die zweite Funktion gilt... hmmm das weiß ich nicht.... wie geht das zweite???

und wie mache ich es für folgende Funktion:



danke
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
für die Menge gilt
z ist element von ganzen Zahlen

Na, na. unglücklich Und was machst du, wenn z negativ ist?

Zitat:
Original von PG
und für die zweite Funktion gilt... hmmm das weiß ich nicht.... wie geht das zweite???

Stelle die Gleichung so um, daß da steht: cos(...) = ....
Dann machst du eine ähnliche Überlegung, wie bei der ersten Aufgabe.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hi
für erste funktion:




das bedeutet, wenn ich 0 einsetze, dann erste nullstelle;wenn 1 ,dann erste von links und rechts usw. oder ist es leichter? ich muss ein vortrag halten und daher alleine vorbereiten, daher weiß ich es nicht und rate nur, weil ich zum ersten mal mit solchen funktionen arbeite

beim zweiten:











das ist eh falsch, aber ich habe keine ahnung, wie sonst

edit: mit der 1/4 habe ich nichts gemacht...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG


Und noch was formales:
Wenn links der Index N gebraucht wird, sollte er auch rechts zu finden sein. Üblicherweise nimmt man erstmal ein kleines n.

Und beim cos:
Finde erstmal ein x, wo cos(x) = 1/4 ist. Dann kann man daraus die Lösungsmenge basteln.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht, wie du das meinst, weil ich das wie gesagt zum ersten mal mache und vortragen muss...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich so undeutlich ? verwirrt Also


Und wegen cos(x) = 1/4 bemühe ich mal den Taschenrechner und finde cos(1,32) = 1/4. Jetzt gibt es noch eine 2. Lösung im Intervall [0; 2*pi]
PG Auf diesen Beitrag antworten »

nein du bist nicht undeutlich, sondern hast mich Hammer falsch verstanden

das mit dem index habe ich dank dir verstanden

nun zur nullstellenberechnung:

von dieser funktion:


wie berechnet man die nullstellen? mir ist klar wie ich mit cosinus rausbekomme(einfach umkehrung von cosinus und dann bekomme ich das ergebnis)

doch es geht mir um die nullstellen bitte!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauchen wir eben cos(1,32) = 1/4.
Wenn also x+2 = 1,32 ist, dann führt das zu einer Nullstelle.
Das kannst du nach x auflösen und mußt dann darauf alle Vielfachen von 2*pi addieren, um alle Lösungen zu erhalten. Dasselbe mit der 2. Lösung im Intervall [0; 2*pi].
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich grübel die ganze zeit, wie du das meinst...

ich habe folgendes versucht:



dann bekommt man noch eine nullstelle, aber wie ich das vervielfachen soll.... keine ahnung wie du das meinst sry, aber ich mache das wie gesagt zum ersten mal...

danke dass du mir hilfst
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellenberechnung von trigonometrischen Funkt.
Zitat:
Original von PG
Hi
Kann mir einer sagen, wie man die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion berechnen kann?

z.B. die Funktionen



danke




Zuerst mal 0 setzen:


4cos(x + 2) - 1 = 0
cos(x + 2) = 1/4

Das, was in der Klammer steht, ist der Winkel (im Bogenmaß oder rad)

Und nun fragst du dich, bei welchem Winkel der Cosinus 0,25 wird.
Und da gibt es dann 2 Winkel dazu.
Einen im 1. Quadranten und einen im 4. Quadranten, denn in diesen beiden Quadranten hat der Cosinus eine positive Länge.
Mit dem TR kriegst du den im 1. Quadranten (und nicht vergessen, dass es da wieder unendlich viele Lösungen dazu gibt, denn wenn du 360° dazu gibst, dann ist der Cosinus von dem neuen Winkel ebenfalls 1/4...das heißt...bei jeder weiteren Kreisumdrehung ist die Cosinuslänge wieder 1/4) und den im 4. Quadranten musst dann selber berechnen.
Am besten den Einheitskreis aufzeichnen und dann schauen, wie du den im 4. Quadranten berechnen kannst.(und wieder die dazugehörigen Lösungen pro Kreisumdrehung)

Wenn du diese 2 Winkel hast, dann kannst du gleichsetzen mit der Klammer:

x+2 = 1. Winkel

umformen, dann hast du x.
Vergiss nicht alle weiteren Lösungen in Mengenform anzugeben.

x + 2 = 2. Winkel

umformen und wieder für alle Kreisumdrehungen angeben, und fertig.

lg kiki
PG Auf diesen Beitrag antworten »

könnt ihr mir das einfach bitte nicht mal an der aufgabe zeigen? ich werde noch weitere ausstellen, die ich dann selbst berechne, wenn ich das prinzip verstanden habe.
Ihr wisst bestimmt selbst, wie unverständlich es ist, wenn man zum ersten mal mit cos und sin arbeitet und daher will ich doch nur ein Bsp.
Diese Aufgabe habe ich mir selbst überlegt, weil ich wissen muss, wie man die nullstellen davon berechnet, da ich vortrage.

also bitte zeigt mir doch an dem beispiel, damit ich das endlich verstehe.

ich habe das mit dem Winkel vorhin auch so gerechnet und da habe ich:


das -2 und dann bekomme ich eine nullstelle, aber wie die anderen?

sagt mir bitte doch nur an diesem beispiel
rain Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit hat es doch schon alles gesagt.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

nein er hat nur gesagt, wie ich das berechnen kann, aber nicht an dem beispiel gezeigt, also nicht mit Menge

Sagt mir doch bitte, damit ich endlich fertig bin. Ich muss vortragen und ihr helft mir nicht, das finde ich blöd- natürlich sollte man tipps geben, wenn man das nicht kann, aber wenn man es zum ERSTEN mal macht und es nie im unterricht besprochen hat, dann finde ich das ungerecht.

sagt mir nur den rechenweg dieser aufgabe, den anderen mache ich dann selbst.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst musst du mal wissen, in welchen Quadranten der Sinus, Cosinus und Tangens welche Vorzeichen haben.

Du solltest dir mal den Einheitskreis aufzeichnen.

Und für jeden Quadranten einen Winkel einzeichnen und von jedem dieser Winkel den Sinus, den Cosinus und den Tangens einzeichnen.
Der Sinus ist dann logischerweise im 1. und im 2. Quadranten positiv, im 3. und im 4. negativ.

Der Cosinus ist dann logischerweise im 1. und im 4. Quadranten positiv, im 2. und im 3. negativ.

Der Tangens ist ein Verhältnis aus Sinus und Cosinus, denn die goniometrischen Gleichungen, die man auch bei diesen Winkelfunktionen dringend braucht, z.b. bei f(x) = sinx + cosx,
besagen:

1. sin²x + cos²x = 1

2. tanx = sinx/cosx

Und wegen dieser 2. Gleichung ist das Vorzeichen des Tangens im 1. und 3. Quadranten positiv, im 2. und 4. negativ.

Denn wenn du z.b. mal haben solltest:

sinx = -1/2

dann musst du dir überlegen, in welchem Quadranten der Sinus negativ ist, um auf alle deine Lösungen zu kommen.

Der TR gibt dir den Winkel an, den Sinus, Cosinus und Tangens im 1. Quadranten haben.
Mit diesem Winkel musst nun immer die 2. Möglichkeit berechnen.

Willst du einen Winkel im 2. Quadranten, dann gilt:
180° - Winkel =

im 3. Quadranten gilt:
180° + Winkel

im 4. Quadranten gilt:
360° - Winkel


Nun zu deinem Beispiel:

cos( x + 2) = + 1/4

cos(75,72°) = +1/4

75,72° ins Bogenmaß umgerechnet ergibt:1,32

cos(1,32) = 1/4

x + 2 = 1,32

x = 1.32 - 2

x = -0,68

Der nächste Winkel, wo der Cosinus eben 0,25 cm lang ist, wäre:

75,72° + 360° = 435,72°
im Bogenmaß gerechnet ergibt das:
1,32 + 2 * pi = 7,60

x + 2 = 7,60

x = 5,60

das heißt, man kann sagen, dass allgemein gilt:

x + 2 = 1,32 + n * 2pi
x = -0,68 + n * 2pi

Das gilt jetzt nur mal für alle Winkel im 1. Quadranten

Jetzt kommt der 4. Quadrant dran.

360° - 75,72 = 284,28

Das heißt:

cos(284,28°) = 1/4

dann ins Bogenmaß umrechnen:

2pi - 1,32 = 4,96

cos(4,96) = 1/4

x + 2 = 4,96
x = 2,96 + n * 2pi

Das sind nun alle Nullstellen:

x1= -0,68 + n* 2pi
x2=2,96 + n * 2pi

Eigentlich könntest du gleich im Bogenmaß rechnen, aber ich hab das jetzt mal über die Grad gemacht, damit du verstehst, was man da überhaupt tut.

Denn bei deinem obigen Post hast du nämlich schon etwas verwechselt:

Du hast nicht unterm Cosinus den Winkel hingeschrieben, sondern dort hast du die Länge des Cosinus hingeschrieben. Ein typischer Fehler, wenn jemand nicht weiß, WAS WAS ist.

du hast geschrieben:
cos(0,25) = 1,32

und richtig wäre gewesen:

cos(1,32) = 0,25

und 1,32 steht dann eben für x + 2

lg kiki

n aus den natürlichen Zahlen
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hey danke kikira, denn genau so wollte ích es wissen. sehr gut erklärt... echt sehr gut
ich hoffe, dass ich es hier richtig anwende:









also keine nullstellen











nicht definiert!








wie gehts bei dieser Funktion? wieder ein neues Problem mit x!!
ich sag doch, dass ich es schnell lerne, wenn ihr mir ein beispiel gibt und ich bekomme auch das gefühl, dass ich es verstehe!

danke für eure hilfe bisher...



edit:



aber nur DIE UNGERADEN!!! Warum ist das so?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sinuskurve hat keine Nullstellen, das stimmt.
Denn der Sinus kann niemals länger als 1 sein.

Aber bei deiner Cosinuskurve hast du den anderen Quadranten vergessen. Hast du denn da schon überprüft, ob es da Nullstellen gibt?
PG Auf diesen Beitrag antworten »

jo du hast recht... ich bin richtig müde... ich antworte morgen wieder

danke bisher
rain Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis nicht was so Aussagen wie "ihr helft mir nicht" sollen?
Wenn du mal genau hinguckst,haben dir sogar mehr als nur eine Person geholfen und wenn man einen Vortrag -oder was auch immer du machen musst - halten muss,kannst du mir nicht erzählen dass dein Lehrer oder dein Mathebuch keine Hilfe anbieten.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

also da muss ich einschreiten smile

Nein keiner- weder lehrer noch buch helfen mir(buch zeigt nur, wie die sinus und kosinusfunktionen aussehen) Mein lehrer sagt nur, lern das und das und das wars.
Ich habe jetzt alles im internet gelernt und habe auch alles verstanden, es fehlt mir nur noch die Nullstellenberechnung, worauf ich morgen dazu noch kommen werde

also bis dann Augenzwinkern

PS: mit "mir nicht helfen" meinte ich, dass ihr mir es nicht an dem Beispiel erläutert. Wenn ihr es falsch aufgenommen habt, dann sage ich jetzt SRY smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
PS: mit "mir nicht helfen" meinte ich, dass ihr mir es nicht an dem Beispiel erläutert. Wenn ihr es falsch aufgenommen habt, dann sage ich jetzt SRY smile

Also in meinen Augen ist das hier nicht Sinn der Sache. Ich meine, wenn du einen Vortrag halten sollst, mußt du auch in der Lage, dir den mathematischen Zusammenhang selbst zu erarbeiten. Ansonsten liegst du platt auf der Nase, wenn bei dem Vortrag eine einzige Rückfrage kommt. Daß kikira dir das jetzt an einem Beispiel vorgerechnet hat, ist zwar nett, führt aber nur dazu, daß du für deine Aufgabe ein paar Zahlenwerte abänderst und ansonsten die Rechnung abkupferst. Damit hast du zwar die eine Aufgabe gelöst, aber das strukturelle Prinzip nicht verinnerlicht. Wenn dann eine Aufgabe kommt, die vom Muster her nicht auf das Beispiel paßt, ist der Ofen gleich wieder aus. Wie gesagt: mir geht mehr darum, daß das innere Prinzip verstanden wird. Das kostet anfänglich etwas mehr Zeit, ist aber letztlich effektiver, weil du dann auch mit Aufgaben umgehen kannst, die vom vorgerechneten Muster leicht abweichen.
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal solltest du dir die Eigenschaften Trigonometrischer Funktionen verinnerlichen.

1. Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. D.H es gilt
f(x+h) = f(x), dabei ist h die Periode. Im Falle der Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) gilt

Nun schau dir den Funktionsgrafen der Sinus- undCosinusfunktion mal an. Der Wertebereich ist .

Der Definitionsbereich für den Sinus ist
und für den Cosinus .

Betrachtest du dir jetzt den Funktionsgrafen der Sinusfunktion, kannst du eine allgemeine Aussage über die Lage der Nullstellen machen. Sie liegen bei . So erhältst du eine allgemeinen Ausdruck für die Lage aller Nullstellen, nämlich , wobei , also

Analog gilt für den Cosinus
mit , also
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es echt gut, dass ihr mir dabei helft und dass ihr mir sagt, dass ich alles nochmal verinnerlichen soll. Und du hast auch recht mit rückfragen. aber ich kann das schon, denn wenn ich mir so eine Funktion anschaue, merk ich mir das sofort und ich kann mir alle diese Funktionen bildlich vorstellen, also ich habe dabei keine Probleme. Du kannst mir eine Funktion sogar aufschreiben und ich kann dir sagen wie die aussieh(aber man sollte immer nachfragen, das ist am besten)

danke für die Anstrengung und mühe, alles in kurzer und übersichtlicher Zusammenfassung nochmal darzustellen, Mathewolf

Nur mit den Nullstellen ist ein neues Problem, über das ich schon lange nachgedacht habe und auch meine eigene Methode( was eigentlich fast dieselbe wie eure ist, aber nicht für jede trig. Funktion verwendbar ist). Ich finde da nichts im Internet
Daher will ich hier nachfragen, um es detailliert, also für alle(fast alle) fälle, anzugehen.

Kommen wir zur Aufgabe:









nicht definiert!




Hier habe ich alle beide Quadranten beachtet, kikira




wie gehts bei dieser Funktion?

so weit komme ich:




wegen dem x komme ich nicht weiter...
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Gleichung zu lösen ist indertat nicht triveal. Und um ehrlich zu sein, kann ich dir eine analytische Lösung hierfür nicht geben. Ich würde dieses Problem linearisieren und nummerisch lösen. Hier würde sich das Newtonverfahren anbieten, da man sehr leicht abschätzen kann, wo etwa die Nullstelle zu suchen ist. Mit einem x-Wert in diesem Bereich könnte man dann leicht als Startwert in die Newton-Iteration einsteigen.
Dabei ist


it als Startwert
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG



Wo liegt das Problem?
Schau mal, ab welchem n der Ausdruck unter der Wurzel positiv wird. Und ab da gibt es Lösungen.
Und ebenso gilt das für den zweiten Quadranten, in dem der Cosinus positiv ist.

Zitat:




wie gehts bei dieser Funktion?

so weit komme ich:




wegen dem x komme ich nicht weiter...


Hier musst du Lösungen suchen gehen. Mit einem Näherungsverfahren. z.b. Newton.
Am besten ist, du zeichnest die Kurve mal, oder berechnest schnell mal die Extremwerte und dann siehst du, wo Nullstellen liegen müssen, denn wenn du die Extremwerte hast, dann kannst du eine ungefähre Schätzung über den x-Wert der Nullstellen geben.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG




nicht definiert!

Und hier ist schon das Problem. Natürlich ist . Man sucht sich die 2 Werte im Intervall [0; 2*pi], für die die Gleichung cos(x) = 1/5 gilt. Da die cos-Funktion 2*pi-periodisch ist, muß das dann aber so schreiben:

Daraus folgt

bzw.


Wie kikira schon gesagt hat, muß man dann schauen, für welche n die rechte Seite positiv ist.
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