matrix , diagonalisieren

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28.06.2006, 00:30	puppy	Auf diesen Beitrag antworten »
matrix , diagonalisieren guten nabend. ich habe die matrix $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . ich soll eine matrix P bestimen, so dasss $\begin{eqnarray} P^TAP \end{eqnarray}$ diagonlagestallt hat. ich weiß leider nicht wie ich das machen soll. wenn mir jemand nen guten tipp geben könnte wie ich das machen kann, wäre ich echt dankbar.
28.06.2006, 00:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, schon mal nach Matrix diagonalisieren gesucht? Da habt ihr doch sicher einen Algorithmus zu bekommen in der Vorlesung. Zunächst mal solltest du die Eigenwerte ausrechnen, einer davon ist 0.
13.07.2006, 22:05	puppy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll aber P bestimmen, so dass $\begin{eqnarray} P^TAP \end{eqnarray}$ . ist.
13.07.2006, 22:08	puppy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll aber P bestimmen, so dass $\begin{eqnarray} P^TAP \end{eqnarray}$ diagonalgestalt hat.
13.07.2006, 22:51	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du schon mal davon gehört, dass eine Matrix bezüglich einer Eigenbasis Diagonalgestalt hat?
14.07.2006, 15:06	puppy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. gibts zu meiner aufgabe auch nicht sowas wie einen "algorithmus"? sowas wie z.b. ich ändere was in der 2-ten spalte also auch in der 2-ten zeile.
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16.07.2006, 01:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, der Algorithmus ist doch schon in den Antworten "versteckt": LOED: Bestimme die Eigenwerte von A Also bestimme die Nullstellen der Determinante $\begin{eqnarray} det(A-t \cdot I_{4}) \end{eqnarray}$ Sunwater: Bestimme die Eigenbasis Also bestimme die zugehörigen Eigenvektoren von A. Über Lösen von Linearen Gleichugnssystemen der Art: $\begin{eqnarray} Av = \lambda v \end{eqnarray}$ Überprüfe die Gleichheit von geometrischer und algebraischer Vielfachheit. Die Spalten von P bestehen dann aus den Eigenvektoren von A
19.07.2006, 04:32	puppy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nur der vollständigkeithalber: ich hab´s in nem buch gefunden. ich geb ein kleines beispiel. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \|1 & 0 \\ 2 & 3 \|0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt 2 mal die >erste zeile< minus die >2-te zeile< und direkt 2 mal die >erste spalte< minus die >zweite spalte<. bei dem element auf der diagonalen nur einmal die operation machen. dann bekommt man: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \|1 & 0 \\ 0 & 1\| -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} =P^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =P \end{eqnarray}$
19.07.2006, 19:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber das blick ich jetzt nicht. Du willst Die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diagonalisieren. 1. Bestimmen der Eigenwerte: $\begin{eqnarray} det(\begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 2 & 3-t \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ charP(A) = (1-t)(3-t) - 4 = t² -4t -1 Daher sind die Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = 2 + \sqrt{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = 2 - \sqrt{5} \end{eqnarray}$ 2. Bestimmen der Eigenvektoren Löse LGS 1 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \lambda_{1} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} D = P^{T}AP \end{eqnarray}$ Daraus erhält man $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Analog erhält man den zweiten Eigenvektor w: $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1- \sqrt{5}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit nun die Transformationsmatrix Orthogonal ist, müssen die Eigenvektoren noch normiert werden. Nun zu deinen Angaben. Damit es sich überhaupt um eine äquivalente umformung handelt, muss ja schon mal gelten $\begin{eqnarray} P^{T}=P^{-1} \end{eqnarray}$ . Das ist bei dir offenischtlich nicht der Fall, wie du durch einfaches Nachrechnen siehst. Gruß

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