liegender Zylinder

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kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »
liegender Zylinder
Hallo an die Matheprofis,
das Volumen eines liegenden Zylinder zu berechnen ist nicht schwierig. Aber alle Tankbehälter haben vorne und hinten runde Endstücke. Kann man das Volumen dieser Endstücke auch berechnen?

Beste Grüße
Hartmut
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zB indem man die Rundung durch eine Funktion approximiert und dann mithilfe der Integralrechnung das Voumen berechnet
 
 
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dunkit, danke für deine schnelle Antwort, mh leider verstehe ich nur Bahnhof. verwirrt
Meine Schulzeit liegt schon einige Tage zurück. Kannst du mir bitte die Lösung in einer Formel verdeutlichen, besser noch in einer Excelformel?

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Komme ich mit dieser Formel weiter?
V=PI*h^2*(d/2-h/3) Forum Kloppe

Gruß Hartmut
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so einfach geht das nicht.
Ich versuchs nochmal zu erklären: Man "baut" sich eine Funktion, die ungefähr so aussieht wie das Runde Endstück des Tanks. Je genauer die Funktion dem Original ähnelt, desto besser Später das Ergebnis.
Dann benutzt man diese Funktion, um einen so genannten Rotationskörper zu bilden und dessen Volumen zu berechnen. Das geht mithilfe der Integralrechnung. Was ein Rotationskörper ist, siehst du hier.
Hat man den erst einmal berechnet, kann man damit auf das Volumen des Endstücks schließen.

Vielleicht brauchst du das aber auch alles garnicht, zum Beispiel, wenn die Endstücke zufällig genau Halbkreise sind, oder andere "leichte" Figuren.

EDIT: Die Formel ist mir so nicht bekannt, wo hast du die her?
EDIT2: Sorry, wenn'S Kugelsegmente sind, hat mythos recht, dann vergiss bitte alles, was ich gesagt habe Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es sich um aufgesetzte Halbkugeln handelt, ist es ganz leicht! Ansonsten sind es Kugelsegmente, welche ebenfalls ohne Integral berechnet werden können. Hast du ein konkretes Beispiel?

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Hintergrund ist die Berechnung von Volumen eines liegenden Tanks.
Nur die beiden Kugelausschnitte machen Kopfzerbrechen. Volumen eines geraden liegenden Zylinder ist kein Problem.
Die Maße sind Länge = 14840 mm (gerader Bereich)
Radius = 2900 mm
Gesamtlänge mit größter Rundung 15740 mm
daraus ergeben sich auf beiden Seite 450 mm die Kugelauschnitte.
Hier eine Bild [attach]8659[/attach]
Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wenn man jetzt noch für die verschiedenen Füllstände die Kugelabschnitte einfließen lassen will, wirds schwierig.

Gruß Hartmut
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

hier gibts die formel mit der passenden skizze:

[attach]8662[/attach]

das volumen berechnet sich also wie folgt:



für dich gilt also:





das brauchst du nur noch einsetzen
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip gehts nur um die Kugelabschnitte.
[attach]8663[/attach]

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ushi, danke für die Hilfe. Leider hat die Sache einen kleinen Hacken. Ich kenne von dem Kugelauschnitt nicht den Radius, weil es sich nur um einen Teil einer Kugel handelt.

Gruß Hartmut
ushi Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, deswegen nimmt du . wie du in meiner skizze sehen kannst, ist der Radius deines Zylinders.

riwe Auf diesen Beitrag antworten »

schau dir doch einmal hier im forum die beiträge von POFF an:
liegender, teilgefüllter, schräg liegender zylindser/ öltank mit und ohne kugelteile usw. usw.....
wie heißt es so schön:
alles schon da gewesen smile
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Achso!! geschockt Danke Ushi.
Habe das (R) glatt übersehen und mit r verwechselt. Ja so gehts. Hast du auch eine Idee, wenn ich nun diesen Abschnitt nur zum Teil berechnen will?

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir Werner. Werde mal suchen.

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner, leider konnte ich nichts finden oder habe es nicht verstanden. verwirrt
Das Problem ist, wenn ich das Kugelsegment hochkant stelle und nur zum Teil fülle. Wie erfolgt dann die Volumenberechnung für die verschiedenen Höhen?

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Wer kann mir da noch einen Tip geben? Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kartmeister
...
Das Problem ist, wenn ich das Kugelsegment hochkant stelle und nur zum Teil fülle. Wie erfolgt dann die Volumenberechnung für die verschiedenen Höhen?

Gruß Hartmut


Auch das dürfte kein gravierendes Problem sein, es ist nur etwas mehr Rechenaufwand nötig.

[attach]8670[/attach]

Das Volumen des aufrecht stehenden bis zur Füllhöhe a gefülten Kugelsegmentes (r, h) berechnet sich aus dem Volumen des ganzen Kugelsegmentes abzüglich eines Zylinders (r1, h1) und noch eines kleinen Kugelsegmentes (r1, h-h1).

Der Radius (s) des Basiskreises des Kugelsegmentes ist die halbe Sehne im Kreis (r) zur Höhe h gehörig und berechnet sich (Pythagoras: ) zu



Aus der Angabe a (Füllstand, Füllhöhe) lässt sich aus der Kreisgleichung oder ebenfalls mit dem Pythagoras h1, das ist die Höhe des Zylinders, ermitteln.







Damit steht das Volumen des Zylinders (Radius r1 = s - a, Höhe h1) fest und das Volumen des kleinen Kugelsegmentes ist



EDIT4: Statt 3s - 3a gehört hier 3r hin! Korrigiert. mY+

EDIT2: Hast Recht, noch ein Schreibfehler! Editiert. mY+

EDIT1: Schreibfehler editiert. mY+

Das gesuchte Volumen (das des bis zur Höhe a gefüllten aufrechten Kugelsegmentes) ist letztendlich



EDIT3: Schreibfehler bei Potenz von h editiert. mY+

Spiele das mal an deinem Zahlenbeispiel durch und berichte bitte auch, wie das funktioniert hat.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kartmeister
Hallo Werner, leider konnte ich nichts finden oder habe es nicht verstanden. verwirrt
Das Problem ist, wenn ich das Kugelsegment hochkant stelle und nur zum Teil fülle. Wie erfolgt dann die Volumenberechnung für die verschiedenen Höhen?

Gruß Hartmut


auch dazu gibt es einen lösungsvorschlag von Poff,
dieser verwendet ein effektives volumen , das man aus dem verhältnis des vollen tanks als zylinder und als zylinder mit kalotten ermittelt.
(das ist ja leicht zu berechnen)

der dabei entstehende fehler liegt - erinnerlich - bei wenigen % bis unter 1% - je nach kalotte

ich verwende kein öl und auch keinen gastank (mehr) smile + unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sh. oben, es geht auch exakt!

Zitat:
Original von riwe
...
ich verwende kein öl und auch keinen gastank (mehr) smile + unglücklich


OT: Du schleppst also wieder Holz und Kohle ... oder hängst an einem FHW oder einer Gasleitung Big Laugh Big Laugh

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Sh. oben, es geht auch exakt!

Zitat:
Original von riwe
...
ich verwende kein öl und auch keinen gastank (mehr) smile + unglücklich


OT: Du schleppst also wieder Holz und Kohle ... oder hängst an einem FHW oder einer Gasleitung Big Laugh Big Laugh

mY+


ich schleppe nunmehr holz und werde auf erdwärme und photovoltaik umsteigen smile

edit: ist bei deiner obigen variante nicht ein denkfehler: zylinder verwirrt
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos, vielen Dank für deine Hilfe. Leider steige ich mit meinem Wissen Tanzen da nicht durch und kann deshalb die ganzen Formel nicht umsetzen. Kannst du es nicht noch einfacher erklären an Hand eines Beispiels. Z.B. ein Kugelabschnitt mit Radius (R) 2900mm und einer Höhe von 450mm. Dank Ushi kann ich schon den gesamten Inhalt berechnen. Sorry mYthos, meine Mathekenntnisse sind sehr mau.

Beste Grüße
Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das Bild als GIF, JPG oder PNG rauflädtst, kann man es direkt sehen und muss es nicht erst in einem externen Programm öffnen.

[attach]8671[/attach]

Hier sind also bereits s = 290 cm (ist der Durchmesser oder der Radius = 2900 mm? Kläre dies zuerst mal, bevor man weiterrechnet, ich denke, eher der Durchmesser, oder?) und h = 45 cm gegeben, daraus lässt sich doch sofort r (Radius der ganzen Kugel)) aus





berechnen. Die Füllhöhe hast du nun nicht angegeben, mit dieser kann man zunächst allgemein rechnen und dann zum Schluss einsetzen.

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig mYthos, natürlich der Durchmesser, also Radius 1450 mm. Danke für die Tips mit dem Bild und für deine Geduld.
Füllhöhe als Beispiel 1000 mm und 1800 mm.


Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es nochmal versucht mit folgende Formel
mit b= Breite = 45 cm
und l = Sehnenlänge = 290 cm



Stimmt das so, mYthos?

Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

s = 145 cm, h = 45 cm, r = 256,11 cm, a = 100 cm

V (nur ein Ende) = 630,12 l (Ergebnis korrigiert! mY+)

Du kannst die Werte einsetzen und das selbst berechnen.

Wenn die Füllhöhe größer als der Radius des Zylinders ist (180 cm), berechnest du das Volumen erst für a = 180 - 145 = 35 cm und subtrahierst dieses dann vom Volumen des ganzen Kugelsegmentes. Dafür kann man auch eine Formel direkt erstellen.

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Fehler bei Umsetzen in Excel
Ergebnis ist r = 256,1 cm.
Überprüft mit



und mit


Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

r = 256,11 cm stimmt nun. Die anderen Beziehungen lassen sich dann auch in Excel eingeben. Ich habe (für a = 100 cm)

h1 = 41,02 cm, r1 = 45 cm

V(K.Segment) = 1533,88 l
V(kleiner Zyl.) = 260,93 l
V(kleines Segm.) = 12,71 l (dieser Wert wurde korrigiert.mY+)

Ich habe es mit DERIVE überprüft, das ist noch komfortabler.

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

traurig Ich bin einfach zu depp-
Ich bekomme nicht dein Ergebnis raus. Kannst du bitte mal die Formel mit den Zahlen nochmal einstellen? Vielleicht raff ich es dann.

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Schön das du noch nicht aufgegeben hast.
Alleine bei h1 bekomme ich 38,16 raus. Wo habe ich bloß den fehler?

Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider nicht mehr als das bereits Geschriebene (alle Formeln und Teilergebnisse stehen ja schon da) geben, denn die Berechnung selbst steht in DERIVE.
Falls du Derive hast, kannst du das entsprechende DFW-File bekommen.

Hast du nicht auch meine Zwischenergebnisse gesehen?

Ich kann es vllt. später (in 2 Std.) mal in ein Excel-Sheet übertragen, im Moment hab' ich zu wenig Zeit dafür.

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

JuHu ich habs jetzt, wieder lag es an Excel und den Klammern. Jetzt habe ich auch 41,02 raus. Ich werde es weiter versuchen.
Nochmal tausend Dank an Dich für Deine Geduld.
Was ist DERIVE?? verwirrt
Das übertragen ins Excel wäre noch der Hammer. Ich danke Dir.
Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kartmeister
...
Alleine bei h1 bekomme ich 38,16 raus. Wo habe ich bloß den fehler?

Gruß Hartmut


[attach]8673[/attach]

Aus dem rechtwinkeligen Dreieck (orange gekennzeichnet) folgt:



mY+

N.:
Die Post's haben sich überschnitten!
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Sag mal mYthos, sind die beiden Formeln so richtig? Einmal mit und einmal ohne Klammer bei
h-h1^2 und (h-h1)^2 und einmal +h1 und bei der anderen -h1?

Kann dadurch bei mir der Fehler sein?

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt das Bild vergessen.

[attach]8676[/attach]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, is' doch nur 'n Schreibfehler! Schreib du mal den ganzen Kram in LaTex ..Big Laugh
Darunter ist's doch eh wieder richtig.
War also nur ein Test für dich, ob du auch richtig aufpasst Big Laugh Big Laugh

Ja, leider war noch ein Schreibfehler, da hattest du auch Recht! Beide habe ich editiert, die Formel im Endergebnis war jedoch richtig geschrieben. Auf die Ergebnisse hatten die Schreibfehler jedoch keinen Einfluss.

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Doch ich passe auf und mein kleiner Kopf qualmt schon.

Folgende Formel



Ergebnis bei mir 68847773,89 verwirrt

Ich glaube eine Excel-Seite wäre wohl besser.

Gruß Hartmut
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

und bei dieser Formel



habe ich 68761609,28 verwirrt verwirrt

Wo ist der Fehler??

Gruß Hartmut
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Lass' man, ich schreib dir das später dann in ein Excel-Sheet. Ich sehe noch einen Schreibfehler, diesmal bei , das soll ein sein, klarerweise. In der allgemeinen Formel des Kugelsegmentes ist dies ja auch klar zu sehen. Insoferne hättest du schon ein wenig mitdenken müssen Big Laugh , es war natürlich keine Absicht

Das Problem ist, dass ich es im Rechenprogramm bzw. auf dem Papier richtig stehen habe und dann beim Abschreiben innerhalb des LaTex falsch übertragen habe.

Es ist



Die von mir angegeben Resultate stimmen jedoch nach wie vor.
EDIT: Leider nicht ganz, bis auf das kl. Kugelsegment, das musste ich korrigieren (3r gehört statt 3s -3a)!

Es stimmt irgendwie schon so: Wer wenig arbeitet, macht wenig Fehler, wer viel ... (ich sollt' mal darüber nachdenken).

mY+
kartmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Und so habe ich es in Excel geschrieben:

=PI()*(45^3/3)*(3*256,11-45)-((145-100)^2)*PI()*41,02-PI()*(45-41,02)^2/3*(3*145-3*100-45+41,02)

Vielleicht liegt hier der Fehler
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