Grenzwert einer Folge (bei x^2)

28.06.2006, 08:56

onkelbenny

Grenzwert einer Folge (bei x^2)

halli hallo,
ich hab da ein problem beim lösen dieser aufgabe. eigentlich klingt sie recht simpel und die lösung scheint klar... lieg ich damit richtig?

Sie tippen eine Zahl in den Taschenrechner und drücken dann immer wieder auf die Quadratfunktion $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .
Strebt die so erzeugte Zahlenfolge gegen einen Grenzwert? (mehrere Fälle!).

habs mal ausprobiert und es klingt ja auch logisch, das die zahl exponentiell wächst. aber gibt es da wirklich einen grenzwert oder stößt die zahl gegen das unendliche?

für einen lösungsansatz wäre ich dankbar. danke!!!

28.06.2006, 09:00

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Einen Lösungsansatz gebe ich dir nicht, aber mal ein paar Startwerte zum Probieren:

-1.1 / -1 / -0.3 / +0.8 / +1.0 / +1.2

Die genügen vielleicht erstmal zum Nachdenken, was so alles passieren kann.

28.06.2006, 10:03

riwe

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noch eine möglichkeit:
1/1/1/1...
werner

28.06.2006, 12:56

Mathewolf

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Nun, dieser Vorgang läßt sich leicht durch eine Folge darstellen. Sei $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Dann gilt
$\begin{eqnarray*} z = \left(\cdots\left(\left(p^2\right)^2\right)\cdots\right)^2 = \left(p^2\right)^n = p^{2n} \end{eqnarray*}$
Dabei ist n-1 die Anzahl, wie oft du nun die Qudrattaste auf deinem Taschenrechner drückst.
Jetzt überleg mal, für welche $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ die Folge konvergiert und wogegen Augenzwinkern

28.06.2006, 13:16

GastSephiroth

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@ Mathewolf, dass würde ich so nicht unterschreiben...

meinst wohl eher $\begin{eqnarray*} p^{2^n} \end{eqnarray*}$

28.06.2006, 13:33

Mathewolf

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Zitat:

Original von GastSephiroth
@ Mathewolf, dass würde ich so nicht unterschreiben...

meinst wohl eher $\begin{eqnarray*} p^{2^n} \end{eqnarray*}$

Ja, du hast recht, denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} z = \left(\cdots\left(\left(p^2\right)^2\right)\cdots\right)^2 = p^{2\cdot 2\cdots 2} = p^{2^n} \end{eqnarray*}$ Hammer

28.06.2006, 14:26

onkelbenny

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ich hab da mal einen lösungsvorschlag:

stimmt das hier?

für -1>x>1 grenzwert positiv unedlich

für -1<x<1 grenzwert 0n

für x =1 und x=-1 grenzwert 1

falls richtig, kann man es auch in der limes-schreibweise schreiben? wenn ja wie?

danke, danke...

28.06.2006, 14:38

Sciencefreak

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Zitat:

Original von onkelbenny
für -1>x>1 grenzwert positiv unedlich

Die Aussage ist zwar vollkommen richtig, aber leider wertlos, denn verusche mal eins zu finden, was kleiner als -1 und gleichzeitig größer als 1 ist Augenzwinkern

Du solltest also noch mal an dem Ausdruck arbeiten, denn ich glaube du meinst das richtige.Auch ein "Grenzwert" von unendlich ist leider sinnlos. Wenn die Folge divergiert, dann hat sie keinen Grenzwert
Ansonsten sind die beiden anderen Grenzwerte richtig.

Darstellen kannst du es, wenn du es wie bereits erwähnt als Folge darstellst
$\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$
Und dann schreibst du
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=... \end{eqnarray*}$
Edit: Die Form im Beitrag unter dem hier ist wahrscheinlich etwas kürzer. Vielleicht solltest du doch lieber das ganze so aufschreiben

28.06.2006, 14:40

Mathewolf

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Schreib einfach
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}p^{2^n} \mapsto +\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |p|>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}p^{2^n} = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |p|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}p^{2^n} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |p|<1 \end{eqnarray*}$

28.06.2006, 14:53

onkelbenny

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hey super, ich danke euch vielmals für eure hilfe. habt mir echt sehr geholfen...

BIG THX AN EUCH ALLE!!! Freude

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