Verteilung zweier unabh. ZVa.

22.09.2008, 16:40

GAMMAHULK

Verteilung zweier unabh. ZVa.

Hi,
kann mir vielleicht einer nen Tip für die folgende Aufgabe geben?

X,Y sind unabhängig und Exp(1) verteilt. Bestimmen sie die Verteilung von (X-Y).

22.09.2008, 16:52

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Ok, es ist nicht die Summe, sondern die Differenz zweier stetiger Zufallsgrößen - deren Dichte ist aber sowas ähnliches wie ein Faltungsintegral:

$\begin{eqnarray*} f_{X-Y}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f_X(t+y)f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Bei den weiteren Umformungen durch einsetzen und vereinfachen sollte man die Fälle $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ unterscheiden,

22.09.2008, 17:39

GAMMAHULK

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f(t) = 0 für t < 0 oder t > 2

0<t<1

[latex]
\int_{0}^{1}~e^{-(t-y)}~e^{-y}~dy
[\latex]

1<t<2

[latex]
\int_{t-1}^{1}~e^{-(t-y)}~e^{-y}~dy
[\latex]

is das so korrekt? Irgendwie steh ich voll aufm schlauch was die grenzen betrifft...

22.09.2008, 17:46

GAMMAHULK

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f(t) = 0 für t < 0 oder t > 2

0<t<1

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int_{0}^{1}~e^{-(t+y)}~e^{-y}~dy \end{eqnarray*}$

nochmal :>
wie gehts dann weiter?

22.09.2008, 18:39

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Zitat:

Original von GAMMAHULK
f(t) = 0 für t < 0 oder t > 2

Nein, beides falsch - wie kommst du darauf?

Zitat:

Original von GAMMAHULK
0<t<1

$\begin{eqnarray*} f(t) = \int_{0}^{1}~e^{-(t+y)}~e^{-y}~dy \end{eqnarray*}$

Hier ist die obere Integrationsgrenze ebenfalls falsch.

Anscheinend hast du die Integralgrenzen aus einem anderen Faltungsbeispiel (vielleicht Gleichverteilung auf [0,1] ?) einfach blindlings übernommen. Bei der Exponentialverteilung, die auf der gesamten positiven Achse konzentriert ist - nicht nur Intervall [0,1] - geht das so natürlich überhaupt nicht.

Und wie's weitergeht, wenn du die Integralgrenzen berichtigt hast? Na die Integrale ausrechnen, was denn sonst.

22.09.2008, 19:06

GAMMAHULK

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jo stimmt hab die grenzen aus nem anderen beispiel übernommen, weil ka wie man das anfängt smile