Konvergenzradius und Reihenwert von Potenzreihen...

22.09.2008, 17:46

Blacks

Konvergenzradius und Reihenwert von Potenzreihen...

Hallo,
ich habe Probleme beim Bestimmen der Konvergenzradien bestimmter Potenzreihen. Potenzreihen der Form:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}^\infty ~ a_n x^n \end{eqnarray*}$
oder aber auch mit $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$
sind soweit kein Problem.
Allerdings fehlt mir der Ansatz bei Reihen mit $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{n/3} \end{eqnarray*}$ .

Hinzu kommt, dass ich bisher bei keiner Potenzreihe einen Reihenwert bestimmen konnte. Bsp: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{\sin^2 (n)}{(2n)^n} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe es bisher mit den Methoden für unendliche Reihen versucht, "Teleskop-Summe" z.B..
Gibt es für Potenzreihen andere Methoden?

Wäre nett, wenn mir Jemand helfen könnte, die Konvergenzradien nd Reihenwerte zu bestimmen.

22.09.2008, 18:51

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Zitat:

Original von Blacks
Bsp: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{\sin^2 (n)}{(2n)^n} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Sollst du hier nur den Konvergenzradius bestimmen [einfach] oder allen Ernstes den Reihenwert in einer geschlossenen Form angeben [sauschwer, m.E. sogar mit üblichen Funktionen unmöglich] ?

22.09.2008, 19:52

Blacks

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Ich gebe tippe einfach die Aufgabenstellung ab:

Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen und geben Sie falls möglich den Reihenwert an.
a) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}x^n \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{\sin^2 (n)}{(2n)^n}x^{n+1} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ 2^{-n}x^{2n} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ (\frac{n^n}{n!} + \frac{sin^2 n}{(2n)^n} )x^n \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} x^n \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{e^{-n}x^{3n}}{2n!} \end{eqnarray*}$

Ich kann bei a),b),d) und e) den Konvergenzradius berechnen, aber nicht bei c) und f).
Die Reihenwerte sind mir bei allen Aufgaben ein Rätsel.

22.09.2008, 19:56

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Richtig zusammengefasst ist c) eine geometrische Reihe, und f) eine Exponentialreihe. In beiden Fällen ist also nicht nur der Konvergenzradius, sondern sogar der Reihenwert kein Problem, wo man mehr als eine Zeile rechnen muss.

Bei e) hilft die Identität

$\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} = (-4)^n\cdot \binom{-\frac{1}{2}}{n} \end{eqnarray*}$ ,

die die Reihe als spezielle binomische Reihe entlarvt.

22.09.2008, 20:20

Blacks

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Ich kümmer mich zunächst um c).

Nach Umformung komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~(\frac{x}{2})^n x^n \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich nun das Wurzel- oder Quotientenkriterium anwende, dann komme ich auf einen Konvergenzradius, der von x abhängt und das kann ja nicht sein.
Was mache ich falsch?

22.09.2008, 20:27

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Wenn du noch weiter umformst, kommst du auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} ~ \left( \frac{x^2}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ .

22.09.2008, 20:35

Blacks

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Versteh ich das richtig, dass also $\begin{eqnarray*} a_k=1 \end{eqnarray*}$ ist?

Damit wäre der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ und die Reihensumme $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{x^2}{2} } \end{eqnarray*}$ .

22.09.2008, 20:37

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Zitat:

Original von Blacks
Damit wäre der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$

Nein, das wäre der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Konvergenzradius der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} z^n \end{eqnarray*}$

Über die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ ist das deine Reihe, ja. Aber den Konvergenzradius musst du dann auch umrechnen!

Zitat:

Original von Blacks
und die Reihensumme $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{x^2}{2} } \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig.

22.09.2008, 20:48

Blacks

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Das verstehe ich nicht.
Kannst du mir das nochmal in anderen Worten erklären?
Ich kann bisher den Konvergenradius nur mit Wurzel- und Quotientenkriterium bestimmten und dafür brauche ich ein $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ .

22.09.2008, 21:14

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Vergiss es. Anderer Zugang: Für welche $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ konvergiert die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2008, 21:21

Blacks

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Für $\begin{eqnarray*} \mid q \mid < 1 \end{eqnarray*}$ .
Für die Aufgabe bedeutet dies: $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x^2}{2} \mid < 1 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} p=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2008, 21:27

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Jaaaa, endlich. Augenzwinkern

22.09.2008, 21:39

Blacks

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Super, vielen Dank für deine Mühe. Ich werd die anderen Aufgaben nochmal behandeln und mich eventuell die Tage nochmal hier melden.

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