Numerik - LR-Zerlegung

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Mystique Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik - LR-Zerlegung
Seien gegeben Matrix und Vektor



Man gebe an
- die Zeilensummennorm von A =
- die Spaltensummennorm von A =

Man bestimme die LR-Zerlegung von A.
Auf Basis dieser LR-Zerlegung bestimme man die Determinante von A und die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b.

---------------------------------------------

Ich versuche gerade oben stehende Aufgabe zu lösen. Zeilensummennorm, Spaltensummennorm und Determinante sind denke ich klar.

Zeilensummennorm von A = 10
Spaltensummennorm von A = 11
det(A) = 72

Nur mit der LR-Zerlegung komme ich nicht klar. Welches Verfahren bietet sich denn da an? Ich würde jetzt erstmal A mittels Gauß auf Dreiecksform bringen. Da komme ich auf folgende Matrix:



Wie gehe ich dann am besten weiter vor?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerik - LR-Zerlegung
Servus,

habt Ihr denn in Numerik nicht die LR-Zerlegung durchgenommen?

Wie bist Du denn auf die Obere Dreiecksmatrix R gekommen Augenzwinkern Gauss, jo. Und diese Zwischenschritte hättest Du dir Merken Sollen.

Mal im Kurzverfahren:

Gesucht: Matrixzerlegung A = LR

Vorgehen: Bestimme die Frobeniusmatrizen , so dass gilt:



Invertieren bringt dann gesuchtes L. Dabei haben die Frobeniusmatrizen schöne Eigenschaten, die diese Rechnung vereinfachen.

Und im Grunde spiegeln die einzelnen Multiplikationen deine Schritte aus dem Gauss-Algorithmus wieder. Stelle deine Rechungen also durch Matrixprodukte etc. dar.

Da sollten zunächst mal die wichtigesten Stichpunkte für deine Recherche drin stehen.

Gruß Wink
Mystique Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

erstmal danke für deine schnelle Antwort. Konnte den ersten Teil der Vorlesung leider nicht besuchen, da wurde das durchgenommen, muss jetzt einiges nachholen. Habe mir im Nachhinein nur einige Stichworte dazu notiert, und zwar "Pivotieren", "Rückwärtseinsetzen" und "Cholesky-Zerlegung" (wobei letzteres hier wohl nicht gefragt ist).

Die Zwischenschritte des Gauß habe ich mir gemerkt. Von Frobeniusmatrizen habe ich allerdings noch nie etwas gehört, da muss ich erstmal genauer suchen. verwirrt

LG
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich das googlen nach einem Skript mit dem Begriff empfehlen.Wenn du nichts findest, können wir nochmal drüber reden. Mag aber ehrlich gesagt jetzt nicht die Vorlesung abtippen Augenzwinkern

Cholesky-Zerlegung ist eine spezielle LR-Zerlegung für symmetrische positiv definite Matrizen, Dabei ist R die Transponierte von L.

Pivotisierung beschreibt das Problem der Division durch 0, die im Gauss-Algorithmus auftauchen kann. In diesem Fall heißt die Zerlegung

PA = LR

D.h. durch Spaltentausch kann das Problem behoben werden.

Rückwärtseinsetzen ist der Algoritmus mit dem man die Lösung des Linearen Gleichugnssystems Ly = b beschreibt.

Dies braucht manz.B., wenn man Ax = b durch LR-Zerlegung lösen will:

1. Bestimme LR-Zerlegung von A, LRx = b

2. Berechne y:=Rx

3. Löse Ly = b durch Rückwärtseinsetzen

Gruß Wink
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