Nullstellenbestimmung

22.09.2008, 18:41

commander731

Nullstellenbestimmung

Hoi,

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion und das anschließende Aufstellen von Linearfaktoren.

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^3-2ax^2-a^2x+2a^3 \end{eqnarray*}$

hab Probleme mit der 2. Variable "a" in der gleichung, weiß nicht wirklich, wie ich das handhaben soll..
Wie gehe ich da vor?

22.09.2008, 19:06

Huggy

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RE: Nullstellenbestimmung
Die Gleichung scharf anschauen und (mindestens) eine Nullstelle raten. Die Nullstellen sind ja Funktionen von a und da fängt man mal mit dem Einfachsten an, was einem einfällt.

22.09.2008, 19:28

commander731

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Warum sind die Nullstellen denn Funktionen von a?
Dieser Funktionstyp lässt mich überhaupt keinen ansatz erahnen traurig

Wenn ich also für a was zu raten versuche, ist doch das x noch da (mal ganz blöde gesagt), wie solls also gehen..

22.09.2008, 19:33

Huggy

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Die Funktion soll als Funktion von x betrachtet werden. a ist lediglich ein Parameter. Wenn man für a verschiedene konkrete Zahlen einsetzt, werden sich davon abhängig verschiedene Nullstellen ergeben. Also hängen die Nullstellen von a ab.

Probier doch mal x = a aus.

22.09.2008, 19:37

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@commander731

Als Polynom in $\begin{eqnarray*} x,a \end{eqnarray*}$ betrachtet, ist der Funktionsterm ein homogenes Polynom vom Grad 3.

Wenn dich der Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in der Funktion so total verwirrt, dann kannst du ja auch mit Substitution $\begin{eqnarray*} x=az \end{eqnarray*}$ stattdessen die Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} f(az) = a^3(z^3-2z^2-z+2) \end{eqnarray*}$

bestimmen und anschließend die gefundenen Nullstellen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu den zugehörigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Nullstellen rücksubstituieren.

22.09.2008, 20:16

commander731

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Nach x = a kam folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f(a) = a^3-2a^4-a^3+2a^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2a^4+2a^3 \end{eqnarray*}$

Für a kommt dann ein -1 hin, demzufolge wir dies dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3+2x^2-x-2 \end{eqnarray*}$

Und da sieht man dann, dass eine der Nullstellen eine 1 ist.

Dann müsste doch jetzt auch eine Polynomdivision möglich sein:

$\begin{eqnarray*} (x^3-2ax^2-a^2x+2a^3) : (x-1) = \end{eqnarray*}$

Hierbei komme ich aber auch nicht mehr so ganz weiter

$\begin{eqnarray*} (x^3-2ax^2-a^2x+2a^3) : (x-1) = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^3-x^2) \end{eqnarray*}$
------------------------
$\begin{eqnarray*} 0+x^2-2ax \end{eqnarray*}$
was ja aber nicht mehr sein kann, da zum Ergebnis dann ein "+x" hinzukäme, was jedoch nicht richtig ist..

22.09.2008, 20:20

Huggy

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Wie kommst du denn auf den Term $\begin{eqnarray*} -2a^4 \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2008, 20:48

commander731

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ach man, ich schau normalerweise 2 mal hin, irgendwie hab ich wohl 2 mal falsch geschaut.

naja, auf alle Fälle heißts dann eher so:

$\begin{eqnarray*} = a^3-2a^3-a^3+2a^3 \end{eqnarray*}$

Womit dann ja a=1 die Nullstelle ist..?

22.09.2008, 20:52

Huggy

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Ich würde eher sagen x = a ist die erste Nullstelle als 1 ist die Nullstelle, aber das meinst du wahrscheinlich.

Wo hakt es denn bei der Polynomdivision?

edit:
Offenbar ist das Divisionsproblem verschwunden.

22.09.2008, 21:08

commander731

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$\begin{eqnarray*} (x^3-2ax^2-a^2x+2a^3) : (x-1) = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^3-x^2) \end{eqnarray*}$
------------------------
$\begin{eqnarray*} 0+x^2-2ax \end{eqnarray*}$

Ja wenn man jetzt die $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ durch x teilt, kommt als Ergebnis bis zu dieser Stelle $\begin{eqnarray*} X^2+x \end{eqnarray*}$ heraus,
als Ergebnis muss letztendlich aber $\begin{eqnarray*} x^2-ax-2a^2 \end{eqnarray*}$ resultieren.

22.09.2008, 21:13

Huggy

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Weshalb teilst du denn durch x - 1?
Offenbar war das 1 ist Nullstelle doch enrst gemeint und ist falsch.
x = a ist Nullstelle!!!
Du musst also durch x - a teilen!

22.09.2008, 21:56

TheWitch

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RE: Nullstellenbestimmung

Zitat:

Original von commander731
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion und das anschließende Aufstellen von Linearfaktoren.

Ist diese Reihenfolge wirklich so vorgegeben? Falls nicht, dann schießt ihr gerade mit Kanonen auf Spatzen. Der Term lässt sich nämlich ziemlich einfach durch Ausklammern zerlegen:

$\begin{eqnarray*} x^3-2ax^2-a^2x+2a^3=x^2(x-2a) -a^2(x-2a) = ... \end{eqnarray*}$

22.09.2008, 22:01

commander731

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Ach herje, ich hatte aus irgendeinem Grund (x-1) in meinen Aufzeichnungen und hab mich zu sehr auf die Korrektheit dieser verlassen..

okay, nach P/Q-Formel komme ich dann auf die Ergebnisse:

x1=2a
x2=-a

Faktorisierung dann letztendlich: f(x) = (x-2a)*(x+a)*(x-a)

düfte richtig sein.. dankeschön smile

22.09.2008, 22:01

Huggy

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RE: Nullstellenbestimmung

Zitat:

Original von TheWitch

Zitat:

Original von commander731
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion und das anschließende Aufstellen von Linearfaktoren.

Der Weg zum Ziel ist wohl nicht vorgegeben. Deshalb kann man meiner Meinung nach auch deinem Vorschlag folgen. Viele Wege führen nach Rom!

22.09.2008, 22:02

Huggy

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Zitat:

Original von commander731
Ach herje, ich hatte aus irgendeinem Grund (x-1) in meinen Aufzeichnung und hab mich zu sehr auf dir Korrektheit dieser verlassen..

okay, nach P/Q-Formel komme ich dann auf die Ergebnisse:

x1=2a
x2=-a

Faktorisierung dann letztendlich: f(x) = (x-2a)*(x+a)*(x-a)

düfte richtig sein.. dankeschön smile

Jetzt stimmt alles!

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