Gebrochenrationale Funktion

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Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochenrationale Funktion
Hallo alle zusammen.
Ich habe hier eine Aufgabe und komme mit ein paar Teilen dieser nicht zurecht.
Ich schreib erstmal die Aufgaben auf :

Gegeben ist die Funktion f mit dem Graph Kt (das t steht im Index von K) durch
; x € (soll für dieses runde e stehen) D (mit zwei senkrechten strichen)

a)Geben Sie die maximale Definitionsmenge D (mit zwei senkrechten Strichen) von f und das Verhalten von f(x) für x -> +/- unendlich an.
Untersuchen Sie Kt (t im Index) auf Asymptoten, gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrem und Wendepunkte.
Zeichnen Sie Kt (t im Index) für -6 < x < +6 und -10 < f(x) < +2,25.
Geben Sie mit Hilfe von Kt (t im Index) die Anzahl der Lösungen von

in Abhängigkeit von c an.

Die Definitionsmenge ist klar ( = alle rationalen Zahlen außer null). Das Verhalten von f(x) für x +/- unendlich ist auch klar ( = Waagerechte Asymptote bei y = 9).
Extrem und Wendepunkte hat man schnell raus und das zeichnen ... naja smile
So jetzt kommt der für mich schwerste Teil, da ich keine Ahnung habe was damit überhaupt gemeint ist.
Man soll mit Hilfe von Kt (t im Index) die Anzahl der Lösungen von der Gleichung ( =c) angeben.
Um ehrlich zu sein hilft bei mir auch garkein Nachdenken, weil ich einfach nicht weiß was Gefragt ist. Was ist die Lösung und wie mit Hilfe von Kt. Und vorallem : was für ein Sinn macht das c dort und was soll man damit Anfangen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und bedanke mich schonmal für eure Hilfe.

Viele Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man Formeln schreiben?

Wieso heißt der Graph ? Ist in der Funktion auch noch ein t versteckt?



code:
1:
 [latex]f(x) = \frac{9x-9}{x^2},~x \in \mathbb D[/latex]
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung warum unser Mathe-Lehrer den Graph genannt hat. Ich denke genannt hat. Aber ein t ist sicherlich nicht Versteckt denn ich habe die Aufgabe 1 zu 1 abgeschrieben.
Meine ganzen Klassenkameraden verstehen das auchnicht.
Möglicherweise auch nur Vertippt (t->f) ?

Gruß,
Bomberman
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nehmen wir es einfach formal so hin, hier liegt also keine verstecke Funktionenschar vor. Dann geht es mit der Definitionsmenge weiter. Deine Vorschläge Augenzwinkern

EDIT: Sorry, im Layout übersehen. Haste ja schon was vorgeschlagen.






Nun zeig mir aber nochmal das Verhalten für +/- oo mit Erklärung. Augenzwinkern
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Verhalten für +/- oo fallen doch die geringsten x-Werte jeweils in Nenner und im Zähler weg. Also nur die 9 im Zähler.
Da der untere Exponent größer ist als der obere gibt es eine waagerechte Asymptote bei 9/1 also 9.
(PS: danke für die schnellen Antworten smile )
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich anderer Meinung. Augenzwinkern Formuliere den Grenzwert mal aus. D.h. als Tipp, im Zähler und Nenner x ausklammern und kürzen.
 
 
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler kann man x garnicht ausklammern ???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, dann steht hinten eben 9/x, aber das ist ok für unsere Zwecke. Augenzwinkern
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein haben die das garnicht mit dem ausklammern gemacht im Unterricht.
Deswegen bin ich verwirrt.
Wir wissen nur dass wenn der obere Exponent um 1 höher ist als der untere eine schiefe Asymptote vorliegt (->polynomdivision).
Bei gleichen Exponenten eine Asymptote auf der x-Achse liegt und wenn der untere größer ist eine Asymptote vorliegt bei einem bestimmten y-Wert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Vertraust mir wohl nicht. Ich mache es einmal vor. Augenzwinkern



Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Frage: warum = 0 ???
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ah!
Heißt das also, dass es keine Asymptote bei y= 9 gibt, sonder eine Waagerechte bei y=0 und eine senkrechte bei x=0 ???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bomberman
Ah!
Heißt das also, dass es keine Asymptote bei y= 9 gibt,


richtig

Zitat:
sonder eine Waagerechte bei y=0 und eine senkrechte bei x=0 ???


richtig.
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie kommt man darauf?
Ich dachte immer wir gehen nach dem Prinzip was ich oben aufgeschrieben habe, dass wenn der untere Exponent höher ist als der obere eine Waagerechte Asymptote vorliegt bei dem bestimmten Punkt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn der unten großer ist, dann geht es gegen 0. Und man kommt so drauf, wie ich es hingeschrieben habe. Augenzwinkern Ausklammern, kürzen, bekannten Grenzwert nutzen.
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mein Gott ^^
Ich bemerkte gerde mein Denkfehler! Ist natürlich andersherum.
Naja. smile
So die Nullstellen habe ich gerade ausgerechnet ()
Extrem und Wendepunkte mach sind auch gleich fertig.
Vielleicht könntest du mir die letzte Aufgabe der a) erklären.
Weil dort meine Probleme liegen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Geben Sie mit Hilfe von Kt (t im Index) die Anzahl der Lösungen von

in Abhängigkeit von c an.


Die?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann brauchen wir das Bild



Links steht der Funktionwert, in bunt habe ich mal verschiedene cs eingezeichnet. Gesucht sind also die Schnittpunkte, vielmehr deren Anzahl. Mit dem Wissen um Maximum/Minimum, Grenzwerte solltest du das hinbekommen.
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar jetzt was mit der Anzahl der Lösungen gemeint ist (also Schnittpunkte), dennoch weiß ich nicht wie man das ausrechnen soll.
soll man jetzt für jede rationale Zahl zwischen Hoch und Tiefpunkt von f die Schnittpunkte herausbekommen ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den Graph doch nun auch schon gemalt. Nimm mal ein Lineal und schiebe es parallel zur x Achse hin und her. Was fällt dir bei der Anzahl der Lösungen dann auf? Das c entspricht dem Wert, den du auf der y-Achse abliest.

Fangen wir "unten" an. Da das Blatt aber irgenwann fertig ist, y=-4. Wie viele Schnittpunkte?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

2
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

richtig. Wie weit musst du nun hochschieben, damit es zum ersten Mal eine "andere Anzahl" gibt?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

bis 0 glaub ich.
Ich hab schon verstanden dass man die Schnittpunkte ausrechnen soll.
Nur hab ich nicht verstanden warum er f(x) = c gestzt hat. und was man damit machen soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Bislang

c<0: 2 SP
c=0: 0 SP


Nun gehen wir langsam weiter. c>0, aber noch nicht beliebig groß. Wie viele SP?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

2 SP, aber nur bis zum Hochpunkt
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! smile
Also soll man garnichts rechnen sondern einfach nur hinschreiben, dass wenn c kleiner als 0 ist soundsoviele schnittpunkte und so weiter?
Also
c<0 : 2 SP
c = 0: 0 SP
c > 0 und c < 2,25 : 2 SP
c = 2,25 : 1 SP

Richtig Big Laugh ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, wir lösen die Gleichung "anschaulich" und mit unserem Vorwissen, anstatt algebraisch.

Und was ist für c> 2.25? Big Laugh
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Logischerweise 0 Schnittpunkte Big Laugh
Super vielen Dank smile War doch nicht so schwer wie ich dachte.
Dennoch gibt es eine Aufgabe b) unglücklich

b) Der Graph der Funktion g mit
berührt im ersten Feld.
Bestimmen Sie a.
Zeigen Sie, dass nie unterhalb von verläuft.

Was ist das erste Feld ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, kleiner Finger und die Hand ist weg. Hier erstmal noch die Regeln mit Zähler und Nennergrad richtig: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#Asymptoten

Erstes Feld ist meiner Meinung nach der erste Quadrant, d.h. positive x und y-Werte und umgangssprachlich "rechts oben" Big Laugh
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Aufgabe kann man schließen dass der Herr Lehrer sich vertippt hat, denn es wird sonst nirgendswo angegeben was ist. Also
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ok, bekommst du die b nun hin?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke die ganze Zeit an Gleichsetzten.
Doch das bringt nichts, denn dann hat man doch 2 Variabeln, oder siehst du das wieder anders Augenzwinkern ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Graph der Funktion g mit berührt im ersten Feld. Bestimmen Sie a.

Zeigen Sie, dass nie unterhalb von verläuft.


Dann schaun mer mal. Wildes probieren liefert erstmal...



D.h. schneiden (ergebnis beim Gleichsetzten) tun viele... welche berührt aber.... Da muss ja noch mehr gelten....
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm einfach nicht drauf.
Ich weiß nicht welche bedingung herrscht, wenn sich zwei Kurven nicht schneiden sondern berühren.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Ableitung, gleiche Steigung.
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Ah smile stimmt.
Also setz ich die Ableitungen der beiden Funktionen gleich oder?
Bomberman Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das bringt doch immernoch nicht, dann hab ich da wieder 2 Variabeln unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ja, mach mal den Ansatz.
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