Trigonometrische Funktion

22.09.2008, 22:54

CP22

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Trigonometrische Funktion

Hallo zusammen ich bin ganz neu hier im Forum

nun hatte ich ein Problem mit trigonometrische Funktionen.
Ich hab 2 Funktionen und sie lauten

f(x)=2sin(x) - sin(2x)

und

f(x)=sin(3x) - sin(2x)

Wie kann ich die beiden Funktionen in einem Graph zeichnen und untersuchen?
Was kann ich damit machen?
Ich brauche DRINGEND die Lösungen.
Ich bitte allen um Hilfe

Herzlichen Dank

22.09.2008, 23:04

Jacques

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Hallo,

Die Aufgabenstellung ist einfach zu ungenau. Sollst Du eine Kurvendiskussion machen?

22.09.2008, 23:05

CP22

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Ja, untersuchung und zeichnen!

22.09.2008, 23:09

Jacques

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Also Ableitungen, Extrem-, Wendestellen u. s. w. ?

Dann wirst Du doch zumindest das Prinzip kennen, oder? Wo genau sind die Schwierigkeiten?

22.09.2008, 23:16

CP22

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Also mit Ganz-gebrochenrationale Funtionen habe ich grundsätzlich keine Probleme.

Aber trigonometrische Funktionen, ich krieg blackout, es ist so als wüsste ich nichts und zwar gar nicht!

Ich weiß nicht was ich damit machen muss!

Die beiden Funktionen sind unter dem Kapitel(Buch) Sinsufunktion - Bogenmaß angeordnet

So, wie geht es weiter?

22.09.2008, 23:20

Jacques

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Hast Du denn die Ableitungen schon bilden können? Sagen Dir die Additionstheoreme etwas?

Um es vorwegzunehmen: Die Komplettlösung wirst Du hier nicht bekommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.09.2008, 23:30

CP22

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So, die ableitungen lauten so, oder:

1.(sin(x))´=cos(x)
2.(cos(x))´=-sin(x)

Additiontheoreme, sowas ist mir garnicht bekannt unglücklich

unglücklich

Komplettlösung zu bekommen und selber nichts tun ist nicht mein Ziel, sondern lösungsschritte nachzuvollziehen wäre mir definitiv lieber Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2008, 23:35

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

So, die ableitungen lauten so, oder:

1.(sin(x))´=cos(x)
2.(cos(x))´=-sin(x)

Ja, aber wie lauten dann die Ableitungen der obigen Funktionen?

Zitat:

Original von CP22

Additiontheoreme, sowas ist mir garnicht bekannt unglücklich

unglücklich

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...ditionstheoreme

Das wäre meine Idee, damit man keine "komplexen" Argumente der Form 2x mehr hat.

Zitat:

Original von CP22

Komplettlösung zu bekommen und selber nichts tun ist nicht mein Ziel, sondern lösungsschritte nachzuvollziehen wäre mir definitiv lieber Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, aber auch die Lösungsschritte musst Du im Endeffekt selbst machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

// edit: Also Du müsstest letztendlich wissen, welche Lösungen eine Gleichung wie z. B. sin(x) = 0 hat.

22.09.2008, 23:48

CP22

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2. Funktion

3cos(3x) - 2 * cos(2x)

richtig?

22.09.2008, 23:50

Jacques

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Richtig. Und die erste?

Wenn möglich, bilde gleich noch die zweite Ableitungsfunktion. Dann ist dieser Teil schonmal erledigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2008, 23:55

CP22

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die andere lautet:

f'(x)= 2cos(x) - 2 * cos(2x)

richtig?

22.09.2008, 23:57

Jacques

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Wieder richtig. Fehlt noch jeweils die zweite Ableitungsfunktion.

Und wenn das erledigt ist, kannst Du schonmal die erste Funktion auf Nullstellen untersuchen -- schreibe die sin(2x) dafür mit dem entsprechenden Additionstheorem um.

23.09.2008, 00:03

CP22

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2. Ableitung jeweils

f''(x) = - 9 * sin(3x) - (-4 * sin(2x))

f''(x) = - 2 * sin(x) - (-4 * sin(2x))

jetzt müsste es aber richtig sein,oder?

23.09.2008, 00:09

Jacques

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Also jetzt hast Du die Reihenfolge der Funktionen genau vertauscht, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es sollte in der Ableitung jeweils nur die Kosinus- bzw. Sinusfunktion vorkommen. Denn in den Ursprungsfunktionen kommt ja auch nur sin bzw. cos vor.

Das Ergebnis ist aber nahe an der Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.09.2008, 00:18

CP22

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Ich habe meine Antwort editiert,

so was folgt danach?

23.09.2008, 00:18

Jacques

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Jetzt stimmt es. Du kannst das -(-4*sin(2x)) natürlich noch vereinfachen zu +4*sin(2x).

Ich würde vorschlagen, wir machen zunächst nur die erste Funktion -- und nicht beide parallel, dabei kommt alles durcheinander. Augenzwinkern

Augenzwinkern

------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} f(x)=2 \sin(x) - \sin(2x) \end{eqnarray*}$

Ableitungsfunktionen

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x)= 2 \cos(x) - 2 \cos(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime}(x) = - 2 \sin(x) + 4 \sin(2x) \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

Was ist jetzt mit den Nullstellen der ersten Funktion?

23.09.2008, 00:26

CP22

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Nullstellen, schöne Frage? Big Laugh

Big Laugh

Polynomdivision hornerschema oder p-q Formel konnte ich hierfür nicht anwenden

dies sind die einzigen die ich bereits kenne, sonst etwas vielleicht?

23.09.2008, 00:30

Jacques

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Na ja, weil das gar keine Polynome sind, wird das nicht funktionieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreibe das sin(2x) um:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = \sin(x + x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt das entsprechende Additionstheorem anwenden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...ditionstheoreme

23.09.2008, 00:33

CP22

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Kannst du mir die bitte vorgeben, ich wüsste es nämlich jetzt nicht verwirrt

verwirrt

sin(x+y) meinst du, oder?

23.09.2008, 00:36

Jacques

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Richtig.

Das Additionstheorem lautet:

$\begin{eqnarray*} \sin(a + b) = \sin(a) + \cos(b) + \sin(b) + \cos(a) \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze einfach a = x, b = x

23.09.2008, 00:40

CP22

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Ok,

aber wie geht es weiter, also ich kann momentan nichts vorschlagen, additionstheoreme könnte ich hierfür auch nicht anwenden

Nochwas, wieso hast du den sin(x+y) und nicht sin(x-y) gewählt, es sind ja mehrere...

23.09.2008, 00:42

Jacques

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Schreib den (vereinfachten) Term doch erstmal hin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Am besten direkt in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das Stichwort für den nächsten Schritt ist: Ausklammern und Anwenden des Satzes "ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist"

// edit:

Zitat:

Original von CP22

Nochwas, wieso hast du den sin(x+y) und nicht sin(x-y) gewählt, es sind ja mehrere...

Aber zu sin(x + x) passt doch nur dieses eine Theorem.

23.09.2008, 00:46

CP22

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Meinst du etwa so

f(x)=0
2sin(x)-sin(2x)=0

weiter? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und jetzt natürlich noch sin(2x) ersetzen. Die Umformung gerade war ja nicht nur Spaß. Big Laugh

also
2sin(x)-sin(x+x)=0
2(sin(0,5x)-sin(x))=0 was sagst du hierzu?

ist doch quatsch Hammer

Hammer

23.09.2008, 00:47

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt natürlich noch sin(2x) ersetzen. Die Umformung gerade war ja nicht nur Spaß. Big Laugh

Big Laugh

23.09.2008, 00:57

Jacques

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Leider nicht ganz richtig:

$\begin{eqnarray*} 2 \sin(x) - \sin(x+x) = 2 \sin(x) - \underbrace{(\sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x))}_{\textrm{Additionstheorem}} = 2\sin(x) - 2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt 2*sin(x) ausklammern und den folgenden Satz anwenden: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Was erhältst Du dann?

23.09.2008, 01:07

CP22

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wie kommst du auf

2sin(x) - 2sin(x)+cos(x)

Ausklammern und wenn einer der Faktoren Null ist... verwirrt

verwirrt

kannst du es bitte einmal vorzeigen, ich tue es mir schwer

23.09.2008, 01:12

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

wie kommst du auf

2sin(x) - 2sin(x)+cos(x)

$\begin{eqnarray*} \sin(x + x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) = \underbrace{\sin(x) \cos(x) \cdot (1 + 1)}_{\textrm{ausklammern}} = 2 \sin(x) \cos(x) \end{eqnarray*}$

Daher kommt das. In Kurzform: a + a = 2a.

Zitat:

Original von CP22

Ausklammern und wenn einer der Faktoren Null ist... verwirrt

verwirrt

kannst du es bitte einmal vorzeigen, ich tue es mir schwer

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 2 \sin(x) \cdot (1 - \cos(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

Anwenden des Satzes:

$\begin{eqnarray*} 2 \sin(x) \cdot (1 - \cos(x)) = 0 \ \Longleftrightarrow\ \sin(x) = 0\ \vee\ 1 - \cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$

[den Faktor 2 habe ich gleich weggelassen, denn der ist ja nun mal nicht 0]

Kannst Du jetzt die einzelnen Gleichungen lösen?

sin(x) = 0

und

1 - cos(x) = 0

23.09.2008, 01:23

CP22

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So, noch eine zwischen Frage:

Wleches zeichen steht eigentlich zwischen 2sin(x)(also hier)cos(x)

also

sin(x) = 0 ; vielleicht nach x auflösen

und

1 - cos(x) = 0 ; 1 = cos(x) ; 1/cos =x (wüsste ich nicht unbedingt, eher geraten Big Laugh

Big Laugh

)

23.09.2008, 01:32

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

So, noch eine zwischen Frage:

Wleches zeichen steht eigentlich zwischen 2sin(x)(also hier)cos(x)

Dazwischen steht ein Multiplikationszeichen, das ich der Übersichtlichkeit halber nicht hingeschrieben habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Terme der Art ab bedeuten immer a*b.

Zitat:

Original von CP22

also

sin(x) = 0 ; vielleicht nach x auflösen

Einfach nach x auflösen geht in diesem Fall nicht. sin und cos sind periodische Funktionen: Wenn es überhaupt eine Lösung gibt, dann existieren unendlich viele.

Für welche Winkel x gilt denn sin(x) = 0 ?

Zitat:

Original von CP22

1 - cos(x) = 0 ; 1 = cos(x) ; 1/cos =x (wüsste ich nicht unbedingt, eher geraten Big Laugh

Big Laugh

)

Die erste Umformung ist gut. Danach machst Du aber einen groben Fehler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das eingeklammerte x ist das Argument der Funktion, kein Faktor oder so!

23.09.2008, 01:40

CP22

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Zitat:

Für welche Winkel x gilt denn sin(x) = 0 ?

es könnte alfa,beta,gama etc. sein

aus der funktion zu erkennen gelingt es mir leider nicht unglücklich

unglücklich

wie machst du es?

23.09.2008, 01:45

Jacques

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Ich meine natürlich die konkreten Winkelbeträge. Also beispielsweise sin(2pi) ist 0.

Allgemein:

$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi) = 0 \end{eqnarray*}$

gilt für alle Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Form

$\begin{eqnarray*} z \cdot \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

(das ergibt sich direkt aus der Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis)

Hm, ich helfe Dir wirklich gerne weiter, aber wenn Dir die Trigonometrie-Grundlagen fehlen, dann werden wir sicher noch bis 6 Uhr an der Aufgabe sitzen. Musst Du die Aufgabe denn zu morgen bearbeiten?

23.09.2008, 01:55

CP22

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Also spätestens bis Dienstag Abend denn Mittwoch ist die Klausur.

So, trigonometrie 1 - also basics kann ich schon anwenden

aber dies ist angewandte trigonometrie,

Also, ich könnte so lange bis ich die Aufgabe löse, andere alternative wäre
wir treffen uns dann heute abend noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

und nochwas ich danke dir ganz herzlich, kann es mit worten nicht fassen Freude

Freude

23.09.2008, 02:09

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

So, trigonometrie 1 - also basics kann ich schon anwenden

aber dies ist angewandte trigonometrie,

Bei welchen Winkeln der Sinus 0 ist, gehört aber schon zu den Basics. Augenzwinkern

Augenzwinkern

OK, dann fehlen noch die Lösungen von

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Hast Du hierbei eine Idee? Es gibt wieder unendlich viele Lösungen, ein paar davon lauten:

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$

23.09.2008, 02:14

CP22

Auf diesen Beitrag antworten »

Man müsste dann in die Cosinus tabelle schauen, richtig?

cos 1=0???

23.09.2008, 02:18

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

Man müsste dann in die Cosinus tabelle schauen, richtig?

Braucht man nicht, man kann es sich einfach überlegen. Wie habt Ihr die Kosinus-Funktion definiert? Am Einheitskreis?

Zitat:

Original von CP22

cos 1=0???

Hm, was meinst Du damit?

23.09.2008, 02:26

CP22

Auf diesen Beitrag antworten »

Kosinus-Funktion lautet doch soweit ich es weiss

cos ALFA = Ankathete/Hypothenuse
(ich kann nur diese Art der Formeln, deshalb fällt es mir schwer anderen anzuwenden)

Zitat:

Hm, was meinst Du damit?

ich denke, ich hab's falsch geschrieben

Laut cosinus tabelle
ALFA = 0
AK/HYP=1

23.09.2008, 02:36

Jacques

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Du beziehst Dich jetzt auf die Anwendung der Kosinus-Funktion im Dreieck. Es geht aber um die Funktion an sich.

Habt Ihr nicht sowas gemacht:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Defin...t_Einheitskreis

?

Also mit der Definition im Dreieck wird man hier nicht weiterkommen, weil dabei einfach keine Winkel auftreten, deren Kosinus 1 ist.

Obwohl der Fall 0° komischerweise in Deiner Tabelle aufgeführt ist. verwirrt

verwirrt

23.09.2008, 02:48

CP22

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so wie du es sagst, anwendung der kosinus Funktion in einem Dreieck.

die tabelle ist hier http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr2s3.htm

Zitat:

Also mit der Definition im Dreieck wird man hier nicht weiterkommen,

genau... denn die Unterscheidung ist mir nicht so klar
Kosinus im Dreieck, Einheitskreis, Funktion, Bogenmaß...es wird überall mit unterschiedlichen Formeln angewendet! Das bringt mich durcheinander

Struktirierte Aufbau gibt es zu diesen Thema nicht, jedenfalls wird mir nicht klar

23.09.2008, 03:02

Jacques

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Zitat:

Original von CP22

Struktirierte Aufbau gibt es zu diesen Thema nicht, jedenfalls wird mir nicht klar

Schau Dir mal bei

http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr.htm

das Kapitel „Trigonometrie III“ an. Da stehen genau die benötigten Definitionen.

Hm, also man kann den Aufbau sehr einfach und verständlich machen, aber das lässt sich natürlich nicht mal eben so abhandeln.

Ich würde vorschlagen, dass Du zuerst das obige Kapitel durcharbeitest. An den Grundlagen führt einfach kein Weg vorbei. Sobald es um die Bestimmung der Extrem- und Wendestellen geht, tritt wieder genau dasselbe Problem auf, dass man eine trigonometrische Funktion lösen muss -- nur ist es dann nochmal deutlich schwieriger.

23.09.2008, 03:09

CP22

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Obwohl ich es mir angeschaut und ALLES verstanden habe, ist mir die Sache unklar geblieben, verstehe nicht wieso?

Ja gut, ich schau mir die Seite noch mal an und wir sehen uns noch heute Abend

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