Beschränktheit nachweisen? |
| 28.06.2006, 16:42 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beschränktheit nachweisen? ich habe eine Frage zum Thema Beschränkheit einer Funktion. Wie weiße ich genau nach, dass eine beliebige Funktion f(x) beschränkt ist bzw. wie bekomme ich die obere und untere Schranke heraus? Muss ich einfach nur nachweisen, dass es ein globales Minimum und Maxium gibt? Wenn ja, wie weise ich nach, dass ein Extremum nicht nur lokal, sondern auch im gesamten Definitionsbereich den größten (positiven bzw. negativen) Wert ergibt? |
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| 28.06.2006, 16:55 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du bestimmst alle Extrema, setzt deren x-Werte in die Funktionsgleichung ein und vergleichst die y-Werte |
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| 28.06.2006, 17:12 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und der jeweils größte bzw. kleinste y-Wert ist dann die obere bzw. untere Schranke? Was ist, wenn sich z.B. so ein Funktionsbild ergibt, dass offensichtlich gar nicht beschränkt ist? Dort muss ich doch zumindest irgendwie nachweisen können, dass das die größten bzw. kleinsten y-Werte der Extrema nicht die Schranken sind.  http://mitglied.lycos.de/tanith1/pics/mathe2.jpg |
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| 28.06.2006, 17:33 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, dann untersuchst du das Verhalten gegen +/- unendlich |
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| 28.06.2006, 17:54 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Heißt das also, dass eine Funktion beschränkt ist, wenn ich für das Verhalten gegen +/- unendlich jeweils eine reele Zahl bekomme? |
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| 28.06.2006, 17:59 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eigentlich müsstest du auch noch das Verhalten an Definitionslücken untersuchen wenn die Funktion stetig ist und du ein abgeschlossenes Intervall betrachtest, dann ist sie dadrauf in jedem Fall beschränkt |
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| 28.06.2006, 18:07 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Allerdings stoße ich bei einer ersten Beispielaufgabe schon auf ein Problem: Ich soll die Funktion y = 2 - 2x² auf Beschränktheit überprüfen. Wenn ich das Verhalten gegen +/- unendlich überprüfe, komm ich auf jeweils uneigentliche Grenzwerte mit -/+ unendlich. Die Funktion soll aber angeblich bei s >= 2 beschränkt sein. |
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| 28.06.2006, 18:27 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na schau doch mal, was das für eine Funktion ist. Es ist eine Parabe, die nach unten hin geöffnet istl, nicht wahr? 
Offensichtlich ist sie nach oben hin beschränkt. ur Ermittelung des Supremums brauchst du nur den Scheitelpunkt zu bestimmen ;-) |
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| 28.06.2006, 18:33 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. 
Allerdings muss ich mir dazu ja die Funktion graphisch anzeigen lassen. Gibt es denn auch einen Weg, bei dem ich das Supremum auch ohne Kenntnis des graphischen Verlaufs ermitteln kann? |
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| 28.06.2006, 18:49 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bestimme die Extrema, dann wirst du feststellen, dass es ein Maximum gibt... |
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| 28.06.2006, 18:57 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmals danke. Ich weiß, ich stelle mich wahrscheinlich wie der erste Mensch an, aber: Ich kann doch ohne Kenntnis des graphischen Verlaufes nicht sicher sein, dass der y-Wert des Maximumpunktes gleichzeitig auch der größte y-Werte ist, oder? |
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| 28.06.2006, 19:11 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Funktion der Form mit ist immer eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet ist. Ist a>0, so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist a<0 dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Der y-Wert des Scheitelpunktes ist dann automatisch die kleinste obere bzw. die größte untere Schranke. Je nachdem, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. |
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| 28.06.2006, 19:40 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, das gilt speziell für quatratische Funktionen, aber was ist z.B. mit: Diese Funktion hat bei ein globales Minimum und bei ein globales Maxium und ist trotzdem nicht beschränkt. Mir geht es doch um eine möglichst verallgemeinerte Herangehensweise, wie ich herausbekomme, ob eine Funktion beschränkt ist oder nicht. Bisher kann ich weder über die Betrachung des Verhaltens gegen +/- unendlich noch über die Betrachtung der Extremwerte eindeutig nachweisen, dass eine (stetige) Funktion beschränkt oder nicht beschränkt ist. |
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| 28.06.2006, 19:45 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du es kombinierst und noch Polstellen berücksichtigst (falls ihr das schon gemacht habt), dann kriegst du es hin. Aber du musst alles zusammen überprüfen. |
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| 28.06.2006, 20:01 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, mal die Polstellen außer Acht gelassen...
Was meinst du genau mit kombinieren? Wir haben ja gerade nachgewiesen, dass, wenn man bei der Betrachtung des Verhaltens gegen +/- unendlich nur uneigentliche Grenzwerte erhält, immernoch die Möglichkeit besteht, dass die Funktion beschränkt ist. Andersherum haben wir festgestellt, dass eine Funktion, auch wenn sie globale Extrema besitzt, nicht unbedingt beschränkt sein muss. Das heißt also, dass ich, egal wie ich die Ergebnisse der "Überprüfungsmethoden" kombiniere, immer noch nicht genau weiß, ob die Funktion nun beschränkt ist oder nicht. |
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| 28.06.2006, 20:04 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es kommt natürlich darauf an, ob das Verhalten an den beiden Rändern gleich ist oder nicht. Geht die Funktion für große x gegen +unendlich und für kleine x gegen -unendlich, so ist sie nicht beschränkt. Geht die Funktion für große und für kleine x gegen +unendlich, so hat sie mindestens ein lokales Minimum und ist nach unten beschränkt. |
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| 28.06.2006, 20:06 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, wie bereits schon erwähnt ist, schaust du zuerst nach Polstellen. Dann nach Exztremwerten (Maxima und Minima) und dann untersuchst du die Funktion bzgl. ihres Verhaltens im Unendlichen. Dann hast du sämtliche Eventualitäten abgecheckt. |
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| 28.06.2006, 20:12 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, nochmals Danke euch beiden. Kann ich also mit Bestimmtheit sagen, dass eine Funktion nicht beschränkt ist, wenn es keine Polstellen, Extremwerte und nur zwei unterschiedliche und uneigentliche Grenzwerte beim Verhalten +/- unendlich gibt? |
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| 28.06.2006, 20:15 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es keine Extremwerte gibt, dann ist die Aussage richtig. Aber wenn es Extremwerte gibt, dann musst du mit der Aussage und nur uneigentliche Grenzwerte aufpassen. Da kommt es dann drauf an, ob die gleiches Vorzeichen haben oder nicht. |
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| 28.06.2006, 20:40 | muffy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.
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| 28.06.2006, 20:49 | Abendschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo zusammen! Wenn f(x) bei x gegen +- unendlich in beiden Fällen gegen +unendlich bzw. -unendlich geht, müßte doch klar sein wo die Funktion beschränkt ist.
EDIT: Aber, das habt ihr ja gerade schon geklärt.
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